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“后继”的意义，只要我们认为它们能满足这五个假定就行。但是这样就出
现了无限多可能的解释。比方说，让“0”表示我们平常所说的“1”，让“数”
表示我们平常所说的“0 以外的数”；那么这五个假定仍然是真的，全部算
术也可以得到证明，虽然每个公式将得到出人意料的意义。“2”的意义就是
我们通常所说的“3”，但是“2＋2”的意义却不是“3＋3”；它的意义将是
“3＋2”，而“2＋2＝4”的意义将是我们通常用“3＋2＝5”所表示的意义。
同样，我们可以在假定“0”的意义是“100”，而“数”的意义是“大于99
的数”的基础上来解释算术。还有其它等等。
只要我们不越过算术公式的范围，所有这些对于“数”的不同解释都同
样令人满意。只有在我们列举数目、涉及数在经验界的用途时，我们才有理
由选择一种解释而舍弃所有另外的解释。如果我们去一家商店买东西，店员
告诉我们说“三先令”，他所说的“三”就不是一个单纯的数学符号，表示
“某一系列开头以后的第三项”；他所说的“三”事实上是不能由它的算术
性质来下定义的。显然。在算术范围以外，他对于“三”的解释比起皮阿诺
系统所允许的一切解释都要好。象“人有10 个手指”，“狗有4 条腿”，“纽
约有10，000，000 个居民”这类叙述，它们所需要的数的定义是不能只从这
些数能满足算术公式这件事实得出来的。所以这样一种定义是对数字符号的
最令人满意的“解释”。
只要数学应用到经验材料方面，同样的情况就会发生。拿几何学来说，
我们不是把它当作从任意假定的公理通过演绎得出结论的一种逻辑练习，而
是把它当作在测地、制图、工程或天文学上的一种帮助。几何学的这些实际
用途必然会产生一种困难，这种困238 难虽然人们有时表面也承认，但却从
来没有给予应有的重视。数学家在他们所提出的几何学中使用了点、线、平
面和圆，但是自然界中找不到这类东西早就成了一句俗话。在我们通过把面
积分为若干三角形的办法进行测量的时候，一般承认我们的三角形的边既不
是精确的直线，顶点也不是精确的点，但是这一点却被三角形的边近似直线，
顶点近似点这种说法给掩盖过去了。这句话的意思一点也不清楚，只要人们
认为我们的粗糙的直线和点所近似的那种精确的直线或点并不存在的话。我
们的意思可能是说可以感知的直线和点具有近似欧几里德的定义和公理所说
的那些性质；但是除非我们能够说出，在一定限度之内，这种近似达到什么
程度，这样一种看法就将把计算弄得意义含混不清和不能令人满意。这个数
学上的精确性和感觉上的不精确性的问题是一个很老的问题，柏拉图曾经用
奇怪的回忆说来解决它。到了近代，同一些其它没有解决的问题一样，人们
由于熟悉而忘记了它，正象人鲍鱼之肆久而不闻其臭一样。显然如果我们能
够把几何学应用到感觉世界上来，我们必须能够通过感觉材料来给点、线、
面等下定义，否则我们就必须能够从感觉材料推论出具有几何学所需要的那
些性质的未曾被人知觉过的实体的存在。找出多种或一种方法，来完成这些
目的当中任一个目的就是对于几何学做出经验性质的解释的问题。
另外还有一种非经验性质的解释，这种解释把几何学留在纯粹数学的范
围之内。所有按顺序排定的三个实数组成的集合构成一个三度的欧几里德空
间。通过这种解释，全部欧几里德几何都能由算术演绎出来。人们可以证明
欧几里德几何以及每一种非欧几里德几何都可以应用到具有与实数项数相同
的每一种集合上去；关于几度以及得出的几何学是欧几里德几何还是非欧几
里德几何的问题要由我们所选择的顺序关系来决定；（从逻辑意义上讲）存
在着无限多的顺序关系，只是由于经验上的方便才使我们选择其中一种特别
加以注意。一位工程师或物理学家在考虑最好采取纯粹几何的什么样的解释
时，所有这些都是有点宏旨的。它表239 明就一种经验性质的解释来说，不
仅是按顺序排定的项自，就是顺序关系也必须通过经验界的事物给出定义。
非常类似的说法也适用于时间，而就我们目前所讨论的问题来说，时间
并不是象空间那样困难的问题。在数理物理学中，时间被认为是山瞬间组成
的，尽管人们告诉弄得困惑不解的学生，可以把瞬间当作数学上的虚构。从
来没人告诉他为什么虚构有用，或者虚构怎样与非虚构的东西互相关联。他
发觉通过使用这些童话故事可以计算实际发生的情况，以后大概他也就不再
追究所以然的原因了。
人们并不总是把瞬间看成虚构的东西；牛顿认为瞬间是和日月同样“真
实”的东西。在人们抛弃了这种看法之后，很容易走到另一个相反的极端，
忘记了有用的虚构不大可能只是一种虚构。有不同程度的虚构。现在让我们
把一个单独的个人看成完全不是虚构的东西；那么我们将怎样看待他所属的
那些不同的人的集合呢？大多数人恐怕不会把家庭看成一个虚构的单位，但
是人们怎样去看待一个政党或是一个板球俱乐部呢？对于我们假定那个单独
的个人所属的叫作“斯密土”的人的集合，我们将怎样看待呢？如果你相信
占星学，你就会特别重视在某一个星辰下降生的人的集合；如果你不相信占
星学，你就会把这样一种集合看成一种虚构。这些区别并不是逻辑上的区别；
从逻辑的观点来看，一切由个体组成的集合都是同样真实或同样属于虚构的
东西。这些区别的重要性在于实际方面，而不在于逻辑方面：有一些集合我
们可以对它们说出许多有用的话，而另外一些集合却不是这样。
如果我们说瞬间是有用的虚构，那么人们必然认为我们的意思是说，我
们愿意对有些实体就象对于个体的人一样给予高度的“真实性”（不管它的
意思怎样解释），并且认为和它们比较起来，瞬间具有板球俱乐部对于其成
员所有的那较小程度的“真实性”；但是我们也愿意说对于瞬间，也和对于
与“人为的”人的集合相对而言的家庭一样，有许多实际上重要的话可讲。
所有这些在意义上都非常含混，而解释的问题就是用精确的240 东西加
以代替的问题，永远已住不管我们给“瞬间”下什么定义，它必须具备数理
物理学所要求的那些性质。如果两种解释都能满足这个要求，那么在它们当
中进行选择就取决于我们的喜好和方便；并不存在一种解释是“对的”而其
它各种解释是“错的”这个问题。
在古典物理学中，技术上的一套工具是由点、瞬间和质点组成的。人们
假定存在着一种三项关系，那就是在某一瞬间占有某一点，而在某一瞬间占
有某一点的东西叫作一个“质点”。在技术方面人们还假定质粒是不能毁掉
的，所以凡是在一定瞬间占有一点的东西总会在每个另外的瞬间占有某一
点。在我说这是人们假定的这句话时，我的意思并不是说人们肯定这是事实；
而是说这种技术是建立在那种认为把它看成事实不会有什么害处的假定的基
础之上。这种看法在宏观物理学中仍然成立，但是在微观物理学中“质粒”
已经在逐渐消失。旧意义的“物质”已经成了不必要的东西；人们所需要的
是“能”的概念，这个概念的意义全靠它的定律和它的分布变化对于我们感
觉的关系，特别是频率对于颜色知觉的关系来确定。
从广义上来说，我们可以说近代物理学的基本技术工具乃是一个由按时
空关系顺序排列的“事件”组成的四度簇，这个四度簇可以用许多不同的方
法分解为空间或时间的组成部分，至于采取哪一种方法则是可以由人随意决
定的。因为我们仍然在使用微积分来计算，所以在技术上人们仍然假定时空
是连续的，但是这个假定除了作为一种数学上的方便办法之外，还有多少用
处人们就不清楚了。人们也不清楚“事件”是否具有一般认为质点在一瞬间
所占有的时空中的确定的位置。所有这一切使得近代物理学的解释问题变得
非常困难，但是除非靠着某种解释，我们是弄不清楚量子物理学家所主张的
看法的。
就“解释”的逻辑方面来说，它