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阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期。 相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不到公正评价的，也就是这一工作。现在 公认，在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作“后来还有雅可比 （K。G。Jacobi，1804－1851）发展了这一理论”，是函数论的两个最高成果之一。
椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多 问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分 往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方 面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A。M。Legen…dre，1752－ 1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织 了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山 重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色， 开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式 上式左边那个不 定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式 的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形 式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么 对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容 易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索 40年，却从来没有想到过它。科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富 有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是 对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞 察力，这大概就是人们所说的天才吧。”倒过来“的想法像闪电一样照彻了这一题 材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了 椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆 函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓 广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一 步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键 性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至 于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（B。Riemann，1826－ 1866）首先提出并加以深入研究的。事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个 人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说， 阿贝尔留下的后继工作，”够数学家们忙上五百年“。
阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一 般性质》。此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托 在法国的数学家身上。他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。 在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（A。L。Cauchy，1789－1857）、勒让 得、拉普拉斯（P。S。LapLace，1749－1827）、傅立叶（I。Fourier，1768－ 1830）、泊松（S。D。Poisson，1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿 贝尔相信他将在那里找到知音。
1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家，他们全都彬 彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。在这些社会 名流的高贵天平上，这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多 少份量呢？阿贝尔在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者 比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老实说我现在也根本 不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者要想在此间引起重视，都得遇到巨大 的障碍。尽管阿贝尔非常自信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。 他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后 委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起 来了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式 发表，则迁延了12年之久。
从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿贝尔在巴黎空等了将近一年。他寄居 的那家房东又特别吝啬刻薄，每天只供给他两顿饭，却收取昂贵的租金。一天他感 到身体很不舒畅，经医生检查，诊断为肺病，尽管他顽强地不相信，但实情是他确 已心力交瘁了。阿贝尔只好拖着病弱的身体，怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴 黎回国。当他重到柏林时，已经囊空如洗。幸亏霍姆伯及时汇到一些钱，才使他能 在柏林稍事休整后返回家园。
是谁该对阿贝尔的厄运负责呢？人们很自然会想起审评阿贝尔论文的柯西、勒 让得。柯西当时38岁，正年富力强，创造力旺盛，忙于自己的事，顾不上别人而疏 忽铸下了大错。勒让得怎么样呢？年逾古稀，功成名就，在法国科学界享有崇高的 威望，他当时不可能像柯西那样忙着搞研究，理应对培养、识拔年轻一代的科学人 才负有更多责任。然而主要的是，阿贝尔这篇论文所处理的题材恰恰是勒让得所熟 悉的，从某种意义上来说，是他的世袭领地。尽管论文里包含着许多新奇、艰深的 概念，但导致这些概念的基本思想却是简单的。一个外行也许没有能力欣赏这种简 单思想的优美性和深刻性，但勒让得对所论问题却决非外行，他自己思者过几十年， 深知在旧有基本思想框架内，知识业已达到饱和状态，要获取新的知识，除非打破 框架，引进新的基本思想。对他来说，其实根本无须仔细阅读论文，只有稍事点拨， 三言两语说明一下基本思想，就足以起到振聋发聩的作用。但是他却好像毫无感受， 实在令人费解。事实上，阿贝尔论文的内容，他并非一无所知，当他得知另一位青 年数学家雅可比（Jacobi）也独立做了椭圆函数理论方面相当系统的工作后，他曾 告诉过雅可比，有一个年轻的斯堪的纳维亚人已先他而专美于家了。雅可比如饥似 渴地读完阿贝尔那篇失落两年又奇迹般出现的论文，不禁气愤地写信责问科学院： “阿贝尔先生作出了一个多么了不起的发现啊！有谁看到过别的堪与比美的发现呢？ 然而，这项也许称得上我们世纪最伟大的数学发现，两年以前就提交给你们科学院 了，却居然没有引起你们的注意，这究竟是怎么一回事呢”？勒让得复信为自己提 出的辩解是令人失笑的：“我们感到论文简直无法阅读，因为它是用几乎白色的墨 水写的，字母拼写得很糟糕，我们都认为应该要求作者提供一个较清楚的文本。真 是掩耳盗铃，文过饰非。
让我们再看看高斯。高斯一生勤勉，有许多伟大的数学发现，却错过了发现这 个伟大数学人才的机会。科学史经常在告诫：大凡富有创造性的见解，开始总是与 传统观念相抵触的。
但阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了 解了他。继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在“克 雷勒杂志”上发表了。这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他 已成为众所瞩目的优秀数学家之一。遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况 竟无所知。甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学教职也不可得。1829年1月， 阿贝尔的病情恶化，他开始大口吐血，并不时陷入昏迷。他的最后日子是在一家英 国人的家里度过的。因为他的未婚妻凯姆普（Kemp）是那个家庭的私人教师。阿贝 尔已自知将不久于人世，这时，他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途，为此，他写 信给最亲近的朋友基尔豪（Kiel…hau），要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻。尽管 基尔豪与凯姆普以前从未觌面，为了让阿贝�