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书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。 今天由伽罗华开创的群论，不仅对近代数学的各个方面，而且对物理学、化学的许 多分支都产生了重大的影响。
伽罗华及其所创立的群论蒙难的历史事实深刻地告诉我们：作为在学术上有杰 出贡献的老一辈科学家，一定要积极热情地鼓励和支持年青一代的科学研究成果。 要发扬“甘当梯子”的精神，让年青科学工作者“踩着自己的肩膀”攀登到科学的 顶峰。就是说，对于创造活力的青年人，作为老一代的科学家就应该像园丁培育芳 草一样去精心浇灌，对于他们在创造过程中出现的这样或那样的问题应该耐心地予 以指教，有的问题应与他们一块去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超过自 己，要欢迎他们超过自己。同时青年人也要尊重老一代科学家，虚心学习他的长处， 主动取得他们的支持和帮助。只有这样，才能各自发挥所长，共同攻关，携手前进， 为迅速发展科学事业做出更大的贡献。
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第四章 从数学家到精神病患者
——集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G。Cantor， 1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论——集合论。它的内容是 如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。
无穷世界的“探险家”
集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是 凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。
康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自从 17世纪牛顿（I。Newton，1642－1727）和莱布尼茨（G。W。Leibniz，1646－1716） 创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的 逻辑基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开 始，柯西（A。L。Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K。Weierstrass，1815 －1897）等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理 论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集 合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。
出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量 关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领 域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应 的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界 里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并 不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集 合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。那么，有没 有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法。因为每个已知集合的所 有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数，当然也 没有最大的集合。无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩。甚至康 托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定。他在获得线性连续统和π 维连续统之间有一一对应关系的结果后，写信给数学家戴德金（R。Dedekind，1831 －1916）说：“我见到了，但我不相信”。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑 根据的。并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作 用。实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进，大胆挖掘无穷世界里的宝藏。他 在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种 形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一个这种无穷的新数对于 研究是需要的或者是不可少的”。
从数学家到精神病患者
康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。 德国数学家克隆尼克（L。Kronecker，1823－1891）是这些人中言辞最激烈、攻击 时间最长的一个。
克隆尼克比康托尔年长22岁。当康托尔还是柏林大学的学生时，克隆尼克已经 是在这个学校任教的著名数学家了。克隆尼克在数学上，特别是在高等代数方面有 很多贡献。然而他一有个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意 见不一致的数学家。他主张，除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出 来，否则不能认为它在数学上是存在的。他有一句“名言”：“上帝创造了自然数， 其余的一切才是人做的工作”。因此，他否认无理数的存在，也否认极限理论的意 义。他常常讥笑魏尔斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是数学”。他和数学家林德 曼谈话时说：“你那个关于π的漂亮研究有什么用呢？无理数根本就不存在，你为 什么要研究这种问题？虽然康托尔是他的学生，但由于集合论的内容同他的主张大 相径庭，所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为，康托尔关于超限数的研 究，是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言，粗暴地、连续不 断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在 许多数学家看来是很过分的事情。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次 想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。但由于克隆尼克横加阻挠，使 得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。克隆尼克的影响 还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之，克隆尼克的专横无理令人震惊， 他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。
除了克隆尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数 学家彭加勒（H。Poi…ncare，1854－1912）说：“我个人，而且还不只我一人，认 为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集 合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor） 集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔（C。H。Her… mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克 斯。克莱因（F。Klein，1849－1925）也不赞成集合论的思想。数学家H。A。施瓦 兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。
在克隆尼克等人的围攻和反对下，康托尔的精神逐渐崩溃了。他天性神经过敏， 容易激动，经受不了这种暴风雨岙的攻击。尽管有希尔伯特（D。Hilbert，1862－ 1943）等著名数学家赞同他的集合论，尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功， 仍未能使康托尔感到欣慰和满足。从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了严 重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发 作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去。他变得很自卑，甚至怀疑自己的工 作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。不过， 在精神病发作的间歇阶段，康托尔仍然顽强地坚持集合论的研究。而且当每次从精 神病发作中恢复过来的时候，他都感到自己的脑子变得格外清晰。他在集合论方面 许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。然而，长期的精神折 磨所造成的危害毕竟是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大 学附属精神病院去世。
康托尔的结局是悲惨的。英国科学史家E。T。贝尔回顾这段往事时说，克隆尼 克认为集合论的出现是一种数学疯病。然而被送进精神病院的并不是集合论而是康 托尔。克隆尼克的攻击实际上打垮了这一理论的创造者。一位数学家为自己创立的 理论付出这样大的代价，这种事情在数学史上还是不多见的。
“悲剧”的成因
在造成康托尔的悲剧的诸因素中，克隆尼克时常被人们指责�