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几何学与实验
下面一个例子比下落的升降机例子还要奇特。我们必须接触到一个新的问题，即广义相对论与几何学之间的关系。我们先来描写一个另外的世界，在那里面生存着二维的生物，而不是像我们的世界里那样生存着三维的生物。电影已经使我们习惯于感受表演于二维银幕上的二维生物。我们现在设想银幕上的这些影子（出场人物）是实际存在的，他们有思维的能力，他们能创造他们自己的科学，二维的银幕就是他们的几何空间。这些生物不能具体地想象一个三维空间，正如我们不能想象一个四维世界一样。他们能够折转一根直线，知道圆是什么，但是不能做一个球，因为这就等于丢弃了他们的二维银幕。我们的处境也相类似，我们能够把线和面折转和弯曲过来，但是我们很难想象一个转折或弯曲的三维空间。
这些“影子”通过生活、思维和实验，最后可以精通二维欧几里得几何学的知识。于是他们能证明三角形的内角之和为180度。他们能够作出有公共圆心的一大一小的两个圆。他们会发现，两个这样的圆的圆周之比等于它们的半径之比，这种结果正是欧几里得几何学的特征。如果银幕无限大，这些“影子”会发现，若笔直往前旅行，他们永远也不会回到起点。
现在我们想象这些二维生物的环境改变了。我们再想象有人从外面，即从“第三维”，把他们从银幕上迁移到具有很大半径的圆球上。假如这些影子比起全部球面来是极小的，假如他们无法作遥远的通信，又不能走动得很远，则他们不会感觉到有什么变化。小三角形的内角之和仍是180度。具有共同圆心的两个小圆，其半径之比仍等于其周长之比。他们沿着直线旅行，还是不会回到他们的起点。
但是假设这些影子慢慢发展起他们的理论和技术知识。假使他们有了交通工具，能够很快地通过巨大的距离。他们便会发现，笔直往前旅行，最后还是会回到他们的起点。“笔直往前”就是沿着圆球的大圆走去。他们也会发现，具有公共中心的两个圆，假如一根半径很小，另一根很大，则其周长之比不等于其半径之比。
假如我们的二维生物是保守的，假如他们在过去几代所学的都是欧几里得几何学，那时候他们不能往远处旅行，那时候这种几何学跟观察到的情况是相符的，那么，尽管他们的测量有明显的误差，他们必然要尽可能去维护这种几何学。他们力求让物理学来挑起这些矛盾的重担。他们想寻找一些物理学上的理由，例如温度之差来解释线的变形，说这种变形使测量结果与欧几里得几何学不符了。但是他们迟早总会发现，有一种更合理、更确切的方法来描述这些现象。他们最后会懂得他们的世界是有限的，还有着与他们所学的有很大区别的几何学原理。他们即使没有能力把这些原理想象出来，但会知道，他们的世界是一个圆球上的二维表面。他们将很快地去学新的几何学原理，这些原理虽与欧几里得的不同，但是对他们的二维世界仍然是一致的，合乎逻辑的。下一代的二维生物便学到圆球的几何学知识，他们会觉得旧的欧几里得几何学似乎是更复杂和牵强，因为它与观察到的情况不符。
我们再回到我们的世界中的三维生物上来。
说我们的三维空间具有欧几里得性，这是什么意思呢？这句话的意思是说所有欧几里得几何学理论上证明了的命题，都能够用实际的实验加以验证。我们能够利用坚硬的物体或光线作出符合于欧几里得几何学中理想形体的实际形体来。一把尺的边缘或一束光都相当于一条线。用很细的坚硬的杆所构成的三角形的内角之和等于180度。用两根很细的弹性金属线所构成的同心圆的半径之比等于其周长之比。欧几里得几何学用这个方式来解释以后，便成了物理学的一章，不过这是很简单的一章。
但是我们可以认为矛盾已经找到了：例如由杆（有许多理由都认为它们是坚硬的）构成的大三角形内角之和不再等于180度了。因为我们已经习惯于用坚硬的物体来具体表示欧几里得几何学的观念，那么我们也许要寻找一些物理的力来解释我们的杆的这种意料不到的变形。我们力求发现这种力的物理性质，以及它对其他现象的影响。要挽救欧几里得几何学，我们会归罪于实际形体的不坚硬，会归罪于实际形体与欧几里得几何学中的形体不完全相符。我们要设法寻找一种更好的物体，它表现得和欧几里得几何学所期望的完全一致。可是，假如我们不能把欧几里得几何学和物理学结合成一个简单一致的图景，那么我们必须放弃关于我们的空间是欧几里得性的观念，并且要将我们空间的几何性质作更普遍的假设以便寻求更确切的“实在”的图景。
这个必要性可以用一个理想实验加以说明，这个实验告诉我们，一个真正的相对论物理学不能建筑在欧几里得几何学的基础上。我们的论证要引用已经知道的惯性坐标系和狭义相对论的结果。
设想一个大圆盘，上面画着两个同心圆，一个很小，另一个非常大。圆盘很快地旋转。圆盘是相对于外面的观察者转动的，假设圆盘里面还有一个观察者。我们再假定外面的观察者的坐标系是惯性的。外面的观察者也可以在他的惯性坐标系中画出同样一大一小的两个圆，这两个圆在他的坐标系中是静止的，但与圆盘上的圆相重合。他的坐标系是惯性的，因此欧几里得几何学在他的坐标系中是有效的，他会发现两圆周之比等于其半径之比。但是在圆盘上的观察者又发现了什么呢？从经典物理学和狭义相对论的观点看来，他的坐标系是禁用的。但是假如我们想为物理学定律找出能适用于任何坐标系的新形式，那么我们必须以同样严肃的态度来对待圆盘上和圆盘外的观察者。现在我们是从外面来注视圆盘里面的观察者，看他如何靠测量去寻找旋转的盘上的周长与半径。他所用的小尺，与外面的观察者所用的是一样的。所谓“一样的”，是指实实在在一样的，就是说它是由外面的观察者交给里面的观察者的，或者说，它是在一个静止的坐标系中长度相同的两把尺中的一把。
里面的观察者在盘上开始测量小圆的半径与周长，他的结果一定会与外面的观察者的完全一样。圆盘围绕着它旋转的轴通过圆盘的中心，圆盘上接近于中心的那些部分的速度非常小。如果圆是足够小，那么我们完全可以放心地使用经典物理学而不必顾及狭义相对论。这就是说，对于里面的和外面的观察者来说尺的长度是一样的，因而对这两个观察者来说，两种测量的结果将是一样。现在盘上的观察者又来测量大圆的半径。放在半径上的尺相对于外面的观察者是在运动的。但是因为运动的方向跟尺垂直，这样尺不收缩，因而对两个观察者来说，它的长度是一样的。这样，对这两个观察者来说，三种测量结果都相同：两个半径和一个小圆的圆周。但是第四种测量则不然，两个观察者所测的大圆的周长是不相同的。放在圆周上的尺，朝着运动的方向，因此依照外面的观察者的观测，比起他的静止的尺来，现在它显得收缩了。外圆的速度较内圆的大得多，因而必须计及这种收缩。因此如果应用狭义相对论的结果，我们的结论应该是这样：两个测量者所测量的大圆的周长一定是不同的。由于两个观察者所测量的四种长度中只有一种是互不相同，因此里面的观察者不能和外面的观察者一样认为两半径之比等于两圆周之比。这就是说，在盘上的观察者不可能在他的坐标系中确认欧几里得几何学的有效性。
圆盘上的观察者得到这种结果以后，还可以说他不想去考察不能应用欧几里得几何学的坐标系。欧几里得几何学之所以崩溃，是由于绝对转动，是由于他的坐标系是坏的和被禁止的。但是在这个论证中，他已经拒绝了广义相对论中的主要观念。另一方面，如果我们拒绝绝对运动的观念而保持广义相对论的观念，那么物理学就必须建立在比欧几里得几何学更普遍的一种几何学的基础上。假如所有的坐标系都是可以允许的，便无法逃避这个结局。
广义相对论所引起的变化，不能只局限于空间一方面。在狭义相对论中静止在一个坐标系中的许多钟，步调相同而且是同步的，就是说同时指示相同的时刻。在一个非惯性坐标系中的钟会怎样呢？前