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速度与相对位置都是已知的，那么是否知道了一个坐标系中的观察结果，便可以求出另一个坐标系中的观察结果呢？要描述自然现象，我们必须知道从一个坐标系过渡到另一个坐标系的方法，这是非常重要的，因为这两个坐标系是等效的，因而同样适宜于描写自然界中的现象。事实上，只要知道在一个坐标系中的一个观察者所得到的结果，你便可以知道在另一个坐标系中的观察者所得到的结果。
我们现在不用船或火车而更抽象地来考察这个问题。为简便起见，我们只研究直线运动。有一根坚硬的刻有标度的杆和一只好的钟。在简单的直线运动的情形中，这根坚硬的杆代表一个坐标系，正如伽利略的实验中的塔上的标度尺一样。在直线运动的情形中，把一个坐标系想象为一根坚硬的杆，在空间任意运动的情形中，把一个坐标系想象为一个由相互平行和相互垂直的杆构成的坚硬的框架，而不管什么塔、墙、街道以及其他这一类具体的东西，就会比较简单些、好些。假设在这种最简单的情形中，有两个坐标系，就是说，有两根坚硬的杆，假定一根杆子放在另一根的上面，我们分别叫它们为“上面的”和“下面的”坐标系。我们假定这两个坐标系以一定的速度相对运动，一根杆子沿着另一根滑动。为妥当起见，再假定两根杆是无限长的，只有起点而没有终点。这两个坐标系只用一个钟就够了，因为时间的流逝对这两个坐标系是一样的。在观察开始的时候两根棒的起点是重合的。这个时候，一个质点的位置在两个坐标系中都是用同一个数目来表征的。这个质点的位置跟杆的刻度上某一点是重合的，这样我们就得到决定这质点位置的数字。但是假如两根杆相对作匀速运动，在运动了一些时间以后（譬如说，1秒钟之后），表示位置的数字就各不相同了。试看图52所示，静止在上面的杆上的一个质点，在上面的坐标系中决定它的位置的数字并不随时间而改变，但是在下面的杆上的相应数字却是随时间而改变的。我们不说“对应于质点的位置的数字”，而常常简单地说成“质点的坐标”。虽则后面这句话听来似乎很深奥，但从图上看来却是正确的，而且所表示的意思是极简单的。质点在下面的坐标系中的坐标，等于它在上面的坐标系中的坐标加上上面的坐标系的起点在下面的坐标系中的坐标。重要的是，假如我们知道质点在一个坐标系中的位置，便能计算它在另一个坐标系中的位置。为了这个目的，我们必须知道在每个时刻这两个坐标系的相对位置。其实上面这些话，是很简单的，如果不是因为在后面要用它，还不值得作这样详细的讨论。
这里我们要注意一下决定一个质点的位置和决定一个事件的时间的差别。每一个观察者都有他自己的杆作为他的坐标系，但是他们却共用一只钟。时间有点像“绝对的”，它对于所有的坐标系中的所有观察者都是同样地流逝的。
现在再举一个例子。有一个人以3公里每小时的速度在一艘大船的甲板上散步。这是他相对于船的速度，或者换句话说，是他相对于严密地关联于船的坐标系的速度。假使船相对于岸的速度是30公里每小时，而人与船的匀速直线运动的方向又相同，则这个散步的人，相对于一个岸上的观察者的速度是33公里每小时，或者相对于船是3公里每小时。我们可以把这个情况说得更抽象一些：一个质点相对于下面的坐标系的速度，等于它相对于上面的坐标系的速度，加上或减去（究竟是加或减，得看速度的方向是相同还是相反）上面的坐标系相对于下面的坐标系的速度（图53）。因此假如我们知道两个坐标系的相对速度，我们不仅可以把一个坐标系的位置转换到另一个坐标系的位置，而且可以把一个坐标系的速度转换到另一个坐标系的速度。位置、坐标以及速度不同的坐标系中有不相同的几种量，然而都是以某种固定的关系相互联系着的，在这个例子中，所用的就是简单的转换定律。
可是有些量在两个坐标系中都是相同的，所以它们用不到转换定律。例如在上面的杆上不是取定一点而是取定两点，并考察它们之间的距离。这个距离便是两点的坐标之差。为了要找出这两点对于不同的坐标系的位置，我们必须应用转换定律。但是在构图的过程中，两个位置之间的坐标之差由于不同坐标系所产生的影响已相互抵消了，这在图54中可以很明显地看到。我们得先加上，然后减去两个坐标系的起点之间的距离。因此两点之间的距离是不变的，也就是说它与坐标的选择无关。
其次一个与坐标系无关的量的例子便是速度的改变，这是我们在力学中已很熟悉的一个概念。假如从两个坐标系去观察一个沿直线运动的质点。对每一个坐标系中的观察者来说它的速度的改变等于两个速度之差，而两个坐标之间的匀速相对运动所产生的影响在计算两者之差的过程中消去了，因此速度的改变是一个不变量。但是有一个条件，即两个坐标系的相对运动必须是匀速直线的。不然，在每个坐标系中速度的改变也会不同，这种差异是由于代表我们坐标系的两根杆的相对运动速度改变所致。
现在举最后一个例！设有两个质点，作用于其间的力只与距离有关。在匀速直线运动的情况下，距离是不变量，因而力也是不变量。因此把力和速度的改变联系起来的牛顿定律，在两个坐标系中都是有效的。我们又一次得到了一个为日常经验所确认的结论：假如力学定律在一个坐标系中是有效的，则它们在对应于这一个坐标系作匀速直线运动的一切坐标系中都是有效的。当然，我们的例子是很简单的，是一种直线运动的例子，其中的坐标系可以用一根坚硬的杆来代表。但是我们的结论是普遍地有效的，可以概括为下列几条：
1．我们不知道有什么法则可以找出一个惯性系。可是，如果假定出一个来，我们便可以找到无数个，因为所有互相作匀速直线运动的坐标系，只要其中有一个是惯性系，则它们全部是惯性系。
2．与一个事件相对应的时间，在一切坐标系中都相同。但坐标与速度却都不相同，它们依照转换定律而变化。
3．虽然坐标与速度由一个坐标系过渡到另一个坐标系时是改变的，但是，力与速度的改变对于转换定律都是不变的，因而所有的力学定律对转换定律也是不变的。
我们把上面所表述的坐标与速度的转换定律称为经典力学的转换定律，或简称为经典转换。
以太与运动
伽利略相对性原理用在力学现象中是有效的。在所有作相对运动的惯性系中都可以应用同样的力学定律。对于非力学的现象，尤其是对于场的概念居于重要地位的那些现象，也都能应用这个原理吗？与这个问题有关的一切问题，立刻把我们带到相对论的出发点。
我们记得在真空中，或者换句话说，在以太中光的速度是3．0×105公里每秒，而光就是在以太中传播的电磁波。电磁场储藏着能，这种能一旦从它的源辐射出去以后，便独立存在。虽然我们已充分感觉到以太在力学上的结构有许多困难，但目前我们还将继续承认以太是传播电磁波的介质，因而也同样承认以太是传播光波的介质。
设想我们坐在一个被封闭的房间里，这个房间与外界完全隔绝，空气既不能进去也不能出来。如果我们静坐着说起话来，从物理学的观点来说，我们在创造声波，这种波从静止的声源以空气中的声速传播。假如口与耳之间没有空气或旁的介质，我们便听不到声音。实验表明，如果没有风，并且对于我们所选择的坐标系来说空气是静止的，那么声音在空气中向各个方向的传播速度都是一样的。
现在我们想象房间穿过空中作匀速直线运动。一个在外面的人可以透过运动着的房间（假如你高兴，说成火车也可以）的玻璃墙看到里面所发生的一切。室外的人可以根据室内的观察者的测量结果，推算出声音对于与他的环境相联系的一个坐标系的速度，而房间就是相对于这一个坐标系作运动的。这里又是前面那个老的、讨论了很多次的问题，即假使知道了一样东西在一个坐标系中的速度，如何决定它在另一个坐标系中的速度。
房内的观察者宣称：在我看来，声音在各个方向的速度都是一样的。
外面的观察者宣称：在运动�