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d2公式中的u 是总值均值，d 是标准方差，S 2 是随机变量k 的方差。在实
x
际应用中，可以预先粗略地估计（或计算）一个S 2 的值，然后再随着模拟
次
x
数的增多不断地加以修正。
下面的实例将有助于进一步地了解和掌握蒙特卡罗法原理及应用。
已知某城市对某种食品的日需要量近似于均值为2000公斤，标准差为300 公
斤的正态分布。商店每售出1 公斤该种食品可获利0。 5元，当日售不出的每公斤
将损失3。5 元。为了简化管理工作，要求每日进货量相同，问商店每日进货多少
公斤可以获得较多的利润？
如果每日购货量为y ，进货量为p 时，该日利润SS为
用蒙特卡罗方法解决这一问题时，应在不同的进货量下各做多次试验。
每次试验产生一个随机数，模拟该日的购货量。从而计算出该日的利润。将
多次试验的结果累加可以求得总的利润，再除以模拟次数，则可得到该进货量下
的日平均利润，对不同进货量进行相同次数的模拟试验，并对不同进货量下的日
平均利润进行比较，则可得出较好的进货量方案。
如果要在计算机上实现上述模拟过程，首先必须借助于计算机产生每日购货
量的随机数序列。因为正态分布随机变量的概率分布函数的逆函数不能用初等函
数表示，所以不能用逆转换法在计算机上产生随机数，必须用近似法来产生正态
分布的随机数。
由中心极限定理可知：若n 个随机变量民（i=1 ，2 n ）具有2 相同的分布
并相互独立，且均值为u ，方差为σ，那么当n 充分大
n 2 时，随机变量X= Ri 趋于均值为nu，方差为n σ的正态分布i
随机变量。如果取Ri为区间（0 ，1 ）上的均匀分布随机变量，由于R 的均
值为1/2 ，方差为1/12。 所以X 近似于均值为n/2 ，方差为1
n/12的正态分布随变量。若取n=12，则x 的均值为6 ，方差为1。 12 即可认
为 Ri i
量12 y=S（12 Ri i
则近似于均值为m ，标准差为S 的正态分布随机变量。在上述实例中，S=300
公斤，m=2000公斤。至此，我们可以用电子计算机来对上述实例进行模拟了。表
7。是对不同日进货量进行了21 365天（次）模拟的结果。
表7。不同日进货量模拟结果21日进货量（公斤） 1600 1650 1700 1750 1800
1900 2000 日平均利润（元） 750。5 778。8 781。9 753。4 727。0 662。2 597。6
从表7。中可以看出，日进货量为21 1700 公斤时，所获得的日平均利润781。9
元为最大。因此，可以得到结论：即商店每天进货1700公斤，奖获得最大的日平
均利润。
□聚类分析法聚类分析是市场分类的另一种方法。它适用于对市场的分类情
况尚不清楚，甚至共有几类都不能确定的情况下而要进行分类的问题。这时，我
们没有分类的“历史资料”作为分类的指导，只能根据事物本身的性质来进行分
类，即我们只能直接比较样品市场之间的性质，奖性南相近的分在同一类，将性
质差异比较大的分在不同类。这就是聚类分析的最基本的原则。聚类分析的方法
很多，常用的有系统聚类法和动态聚类法。
1。系统聚类法系统聚类法是目前常用的一种聚类分析方法。这种方法是首先
将样品间的距离求出，每个样品自成一类，然后将样品间距离最近的合成一类。
样品间距离D （X ，Y ）可由下式求出：
n 2 D （X ，Y ）= X i Y=（y ‘…y ）
1y2 n
类与类之间的距离等于两类样品间的最短距离（也可以定义为最长矩离）d
即：ij
dki ：第i 类与第j 类之间的距离。
d ：第i 类的第K 个样品与第j 类的第I 个样品之间的距离。
kj
实际中，为计算方便我们不求距离而求距离的平方。
例：五个市场按两个标志评价得分如表7。 。表227。22评价得分表
市场号 X X 1 2
1 1 1
2 1 2
3 6 3
4 8 2
5 8 0
2 2 d 2 ij
选择最短距离1 ，所以将 1号与2 号合并为：G=｛1 ，2 ｝。
6 然后冉计算每一类与G 的距离平方，用矩阵表示：6 可见G 与G 距离最短
为4 ，因此将G 和G 合并成G=｛4 ，5 ｝。同样4 6 4 6 7 方法将G ，G ，与G
之间距离平方值列成矩阵再将G 和G 合并得G=｛3 ，6 3 7 3 7 8
4 ，5 ｝如此可将5 个市场分成二类。第一类是 1号和2 号，第二类是3 号，
4 ，号，5 号。类的数目可根据市场研究者的需要划分。
2。动态聚类法动态聚类法是将样品先分成几类，然后对这些类进行调整，使
得调整以后的分类达到局部最佳。也就是常用的K 均值法。
K 均值法的基本思想是把各类事物的均值看成该类的“类中心”，找出各类
的类中心。同时又规定一个样品与一个类之间的距离就是该样品与该类的中心的
距离。对于初始分类后，要对样品逐个检查，看它是否在离它最近的类中，如果
不在就将其调整到离它最近的那个类中去。当然这样调整后，该样品原先所在类
和调整后所在类的类中心会随之变化，此时须重新计算类中心。如此将样品逐个
检验，反复调整直到所有的样品都在离它最近的那个类中去，其步骤如下：（1 ）
首先规定样品间的距离公式D （X ，Y ）以及选择四个参数K ，C ，M ，T。
n 2 D i i i 参数分别表示：K 为所需分的类数C 为样品与“类中心”之间
距离平方的比较参数值M 为每类中最少的样品数目T 为重复迭代次数（2 ）将样
品初步分成R 类（R ＞K ），井计算每类的“类中心”点（类中各个样品对应标
志值的算术平均值）。
（3 ）将样品依次输入检查，每输入一个样品检查时，要计算该样品与R 个
“类中心”点间的距离平方。若最小的距离平方大于C ，需要重新计算“类中心”
点，并把该样品剔除，如果样品与其“类中心”的距离平方小于C ，那么指派该
样品到该类中去，并重新计算加入该样品的“类中心”点。
若样品未分类，而与该样品最近的“类中心”点的距离平方小于C ，指派该
样品至最近的“类中心”，并修订其“类中心”点。
（4 ）当所有样品都依步骤到达所指派的类后，检验每类样品的数目，并解
散所有小于参数M 的类（在下一步骤中该类样品当作未分类样品处理）。
（5 ）重复步骤3 、4 直至分类完全没有改变为止。
（6 ）计算“类中心点”间的距离，并将相近的两类合并，重复步骤，5 直
至类数目减少到参数K 为止。
例：对上例用动态聚类法。取K=2 ；M=2 ；T=3 ；C= 10 ，进行分类。
0 0 0 0 （1 ）将5 个市场分成两类G ，G。G=（X ，X ），G=（X ，X ，1
2 1 1 3 2 2 4 0 0 X ），X 表示第i 个市场向量。计算G 和G 的“类中心”点。
5 1 2 1 0 G 的类中心点，S=（3 ，5 ，2 ）
1 1 0 0 G 的类中心点S=（5 ，67，1 ，63）
2 2
（2 ）将5 个市场逐个输入：0 2 2 1 导市场与S 的距离平方= （3。5… 1）
＋（2… 1）
1 0 1 号市场与S 的距离平方（5。67…1） 2＋ （1。38…1）2 ，最小距离平方
2
7。25小于C=10， 1号市场属于类中心S1。 0 2 2 2 号市场与S 的距离平方=
（3。5…1 ）＋（2…1 ）=6。25。 1
0 2 2 2 号市场与S 的距离平方= （5。67… 1 ）＋ （1。33… 2 ）= 22。25。2
号2 0 1 0 市场加入S 后的类中心点S=（2。67，2 ）；2 号市场离开S 后的中心
点1 1 1 1 S=（8 ，1 ）。
2 1 1 3 号市场与S 的距离平方= 12。09。与S 的距离平方= 8 ，8 ＜10故3
1 2 1 1 2 号市场应属于类中心S 中，3 号市场加入S 后的类中心S = （7。33，
1。67），2 2 2 1 2 3 号市场离开S 后的类中心S=（1 ，1。5 ）
1 1 2 2 4 号市场与S 的距离平方= 49。25 ，4 号市场与S 的距离平方= 0。56。
1 2 2 4 号市场属于S ，原指派正确。
2 2 2 5 号市场与S 距离平方= 51。25。5 号市场与S 距离平方= 3。24，可见
1 2 2 5 号市�