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薛定谔自己认为，他的理论是德布罗意见解的一个自然扩展，也是哈密
顿发展的牛顿经典力学的自然扩展。在第二篇论文中，薛定谔介绍了利用哈
密顿的研究成果，通过类比得到波动方程的过程。哈密顿曾发现，几何光学
仅仅是波动光学的一种特殊情况，并指明如何由几何光学的特征方程过渡到
波动光学的微分方程，还指出了质点力学和几何光学之间的类似性。这启发
了薛定谔，他想，光既有粒子性，又有波动性，描述它的既有几何光学，又
有波动光学；物质粒子也具有波粒二重性，那么描述它则应该既有质点力
学，又有波动力学。质点力学与几何光学类似，那么波动力学则可能与波动
光学类似，而且正如几何光学是波动光学的特例一样，质点力学也可能是波
动力学的特例。按照哈密顿的理论，薛定谔得到了描述物质波的方程，即薛
定谔方程：
h2 2
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力学。深入考察表明，海森堡的见解来自哈密顿的质点动力学，薛定谔的见
解来自哈密顿的波动动力学；矩阵力学运用的是代数方法，出发点是粒子，
而波动力学运用的则是微分方程，出发点是波。
由于数学形式的不同和物理概念上的差异，矩阵力学和波动力学的创始
人都不喜欢对方的理论，甚至相互批评和排斥。但是，这两种力学在反映微
观粒子运动的规律方面却是同样有效，总是给出相同的结果，而且，它们都
是以原子光谱的实验事实为基础并吸收了玻尔分立能级的观点，都是以微观
粒子的波粒二重性为前提。因此，薛定谔考虑到，这两种理论可能存在而且
应该存在某种内在的联系。他认真地研究了矩阵力学，并在提出波动力学3
个月后，便令人信服地证明了，二者只有形式上的差异，实质上是完全等价
的。只要经过一个数学变换，便可以从一个理论过渡到另一个理论。与此同
时，泡利也独立完成了对两种理论等价性的证明。人们后来就把实质上是同
一理论的矩阵力学和波动力学通称为量子力学。
薛定谔的波动力学使用的是数学物理方程的形式，因此，比较熟悉这种
数学方法的物理学家们都倾向于使用或讲授这种理论。
（4）狄拉克与相对论性的量子力学
从德布罗意提出物质波到薛定谔证明了矩阵力学和波动力学的等价
性，量子力学已经基本创立并取得了令人满意的进展，但是，这一理论如果
不考虑相对论性，终不能算是一个好的理论。在微观世界，引力场的影响尚
可忽略，但要正确处理高速运动的粒子的问题，就必须考虑狭义相对论。由
前面给出的薛定谔方程可以看出，方程中对空间变量的微商是二次的，对时
间变量的微商则是一次的，显然，方程不具有洛伦兹协变性，也就不是相对
论性的。
1926年4月和9月，克莱因（1849—1925）和高登曾先后找到了所谓的
“克莱因—高登方程”。前面提到，薛定谔最初研究物质波时，就得到了这
一方程，但由于未考虑当时刚发现的自旋而不能与氢原子光谱的实验结果相
吻合，因此未发表其研究的工作。
狄拉克在此数月前，曾经利用他的新见解，在独立研究矩阵力学问题
时，轻轻扫去了横在海森堡、玻恩和约尔丹三个人面前的巨大障碍。现在，
当人们为克莱因—高登方程解决了相对论性问题而感到安慰时，他又在研究
后发现，除了不能描述有自旋的粒子（如电子）外，这个方程还存在一些严
重的理论问题，如导致负几率等。
于是，这位对相对论和量子力学都怀有极大兴趣的年青物理学家决心推
导出描述微观粒子的真正的相对论性方程。他先对薛定谔方程进行了一些改
造，使该方程对时间变量仍保持一次微商，而把对空间变量的微商由二次改
为一次，从而让方程具有时空对称性。在寻求解决办法的过程中，狄拉克发
现了一个描述电子自旋的泡利矩阵和电子动量的关系式，在这个式子的启发
下，又经过一翻苦思冥索，他把满足泡利电子自旋理论的两行两列矩阵，变
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为四行四列矩阵，并最终攻克了难关，找到了现在人们所熟知的相对论性的
狄拉克相对论波动方程。狄拉克当时高兴地说：“从此，有了一个新的波动
方程，它与量子力学的基本原理相一致，而且与狭义相对论的对称性要求相
符合，同时还证明，这一波动方程，自动给出了电子半量子数自旋，还给出
了电子所具有的磁矩。”
然而，狄拉克方程中包含了负能解，也就是说，在某些情况下，能量竟
是个负数，而如果存在没有下限的负能级，一个正常的原子就可以无限地向
更低能级跃迁，同时产生辐射，这样，原子结构的稳定性又成了问题。解决
这种困难的办法，要么修改方程，排除负能级，要么对负能级作出物理解释。
狄拉克考虑到，如果修改方程，将破坏相对论性的特征和理论的全部完美
性，他坚持采用后一种方法。经过一年多的艰苦探究，他提出了一种崭新的
真空图象的解决方案。后来，还预言了人们从未认识过的反物质——正电子
的存在。
1932年8月，美国物理学家安德逊（1905—）和他的助手在研究宇宙线
的云室照片中发现了这种新粒子。这是人类利用量子力学理论探索未知基本
粒子的过程中迈出的新的一步。
狄拉克的工作实现了量子论和相对论的统一，他的方程标志着量子力学
的最终建成。1930年，狄拉克出版了《量子力学原理》，对量子力学进行了
更为普遍的综合，是量子力学的集大成著作。
（5）几率波、测不准关系和互补原理
量子力学从一个全新的角度为人们提供了对自然界的认识和思维方
式。它虽然具备了严密的数学形式，并获得了充分的实验证实，但是，其中
的一系列基本概念与数学形式的物理意义却很令人费解。
在经典物理学所描述的宏观世界里，粒子和波是两个完全不同的概念，
有着明确的物理意义。作为描述微观世界运动规律的量子力学，其基本特征
是微观客体的波粒二象性和微观规律的统计性质。那么，量子力学中的波究
竟代表什么？如何获得波和粒子统一的合理解释？物理学家们各持不同看
法。包括薛定谔和德布罗意在内的很多人，早期都受到经典物理学的深刻影
响，薛定谔认为，波是实在的，粒子不过是波的密集处，即波包所在。德布
罗意最初持导航波观点，认为波与粒子的关系是粒子骑在波上随波而跑，后
来他认为，波本身就是粒子。他们的看法不久都被否定了，原因在于，这些
解释都没有摆脱传统的波和粒子概念。
1926年，受到玻尔和爱因斯坦思想的启发，玻恩提出了关于波函数的统
计解释。他认为，波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方），与在
该点找到粒子的几率成正比，量子力学意义下的物质波既不是机械波，也不
是电磁波，而是薛定谔理论的位形空间中的几率波。玻恩的这种解释很好地
统一了波粒二重性，并得到了理论和实验的支持以及物理学家们的公认。
1927年，海森堡反复思索了这样一个问题，量子力学理论是如何决定了
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我们所能观测到的东西的？思考的结果阐述在《关于量子论的运动学和力学
的直觉内容》一文中。在文章中，海森堡提出了著名的测不准关系，指出，
在宏观世界中可以用实验手段同时准确地测定物体的位置和动量，而在微观
世界中，人们却不可能用实验手段同时准确地测定微观粒子的位置和动量，
如果用△x表示测得粒子位置的不准确范围即误差，△p表示测得粒子动量
的不准确范围即误差，那么，它们之间有如下的关系：
△x·△p≥h
上式中h为普朗克常量。测不准关系表明，对粒子位置的准确测定则妨
碍对它的动量的精确了