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时大学评议会里对妇女持歧视观点的人们却极力反对。直到第一次世界大战
结束，德国成为共和国，诺特才当上讲师。
1919年至1922年，诺特潜心研究环中的理想论。当她开始工作时，环
和理想的许多结果已经给出，但是，正是她赋予这些结果以适当的确切的表
述，得到环和理想的抽象、系统的理论。诺特把多项式的理想论包括在一般
理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基
础。 1926年，她在环和理想方面深入的总结性的工作，基本完成。因此，
一般将抽象代数的形成时间定为1926年。
荷兰数学家范德瓦尔登（1905—）于1924年至1925年师从爱米·诺特。
1927年，他极其成功地阐述了诺特的理论，对诺特的思想进行了透彻的解
释，后来写成《近世代数学》一书，总结了以诺特为代表的哥廷根代数学派
以及其他代数学家的成果。此书当时即风靡世界，至今仍被视为是抽象代数
最好的入门书之一。
诺特以她在代数和数论方面的卓越成就，在数学界赢得很高的声誉。
1933年，作为犹太人的诺特和其他五位教授一起被纳粹当局点名离开哥廷
根。她后来不得已而远渡重洋，去了美国，1935年因病逝世。爱因斯坦赞扬
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诺特说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来，最重要的，最富于创造性
的天才”。
（3）拓扑学的发展
拓扑也是19世纪数学的发展结晶出的一个新的数学分支。拓扑的前称
是位置分析，是研究几何图形在被弯曲、拉大、缩小或任意形变下仍然保留
的那样一些性质（这种性质也称拓扑性质）。而对“任意形变”应加的限制
是，在图形变换过程中，原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点
也不能分开，每点附近的点经变换后仍在该点附近。这种变换和它的逆变换
都是连续的一一对应，就称为“同胚”。在拓扑学中，一个图形与稳定同胚
的图形成为拓扑等价。拓扑学就是研究不同图形的拓扑性质以及拓扑分类等
问题。
照20世纪的理解，拓扑分成两个有些分立的部分，即点集拓扑和组合
拓扑 （或代数拓扑）。前者把几何图形看作点的集合，又把整个集合看作是
一个空间；后者把几何图形看作是由较小的构件组成的。在研究那些极广泛
的几何结构时，组合拓扑也要用点集拓扑的概念。
法国数学家弗雷歇在1906年发表的博士论文中，把函数作为一个“点”
来看，并把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托尔 （1845—1918）的点集
论和分析学的抽象化联系了起来。弗雷歇在函数所构成的集合中引入距离的
概念，构成距离空间，展开了纷性距离空间的理论。点集拓扑学是在弗雷歇
工作的基础上产生的。希尔伯特空间、巴拿赫空间的引入以及泛函分析的兴
起，进一步推动了点集拓扑的形成和发展。
19世纪末，组合拓扑中发展得较为完善的唯一区域是闭曲面理论。最先
系统地一般地探讨几何图形组合理论的是彭加勒（1854—1912），他被公认
为是组合拓扑学的奠基人。 1895年至1904年间，他发表了一系列有关的
论文。彭加勒把点、线段、面等推广为标准构件——单形，把所有图形都分
解为单形的组合——复形，并引进了流形、边缘、链、贝蒂数、挠系数、示
性数等概念，另在区别复形时，引进了复形的基本群（也称为彭加勒群或第
一同伦群）。他的工作对拓扑学的形成和发展起了相当重要的作用。
这位杰出的数学家同时还是一位杰出的物理学家，他数学方面的著作涉
及几乎所有的基本领域，物理学方面的工作也涉及到动力学、流体力学、电
磁理论、理论物理以及天文学等诸方面。
通过研究函数论问题对拓扑产生兴趣的布鲁温和美国数学家亚历山大
（1888—1971）等在拓扑的这一段发展中都作了许多重要工作。20世纪20
年代末，人们把群和环等抽象代数结构作为拓扑不变量引入，并引进了同调
群、同伦群概念。同调、同伦概念的引进，使拓扑学的内容更加深化。 1939
年到达美国的波兰数学家爱伦堡（1915—）与斯廷罗德（1910—1971）合作，
于1944年将同调论公理化，结束了同调论发展中的混乱局面，推动了拓扑
学的进展。
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这期间，还严格定义了微分流形的概念，并证明了微分流形的一些有关
定理。微分流形是曲线、曲面概念的推广，它们的局部都可以看成是欧几里
得空间，通过不同的方式连接起来就可以连成不同的流形。从局部看，它们
没有什么不同，但这些元件连接方式的不同，在整体上将差别很大。微分拓
扑学就是研究微分流形的拓扑学。40年代后，拓扑学渗透到所有数学领域
中，并影响到物理学、化学和生物学。
历史上的“四色问题”，后来才发现它是一个拓扑问题。所谓四色问题
可以表述为：给平面或球面上的地图着色，只要四种颜色便足够了，就能使
任何两个具有至少一条曲线公共边界的国家都被涂上了不同的颜色。四色问
题也称作“地图问题”，是1852年时，伦敦大学的研究生古斯里 （1831—
1899）提出的。经验使人们觉得这个猜测很有道理，因为还没有一种地图需
要四种以上颜色来着色的，但若少于四种颜色，就肯定不够了。但这个貌似
平常的常识性问题，在暗示这样一个数学定理：将平面任意地细分为不相重
叠的区域，每一个区域，总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而
不会使相邻的两个区域得到相同的数字。所谓“相邻”区域是指有一整段边
界是公共的，两个区域只相遇于一点或有限多个点就不能称其为“相邻”。
古斯里的弟弟将这个猜测告诉了他的老师，当时伦敦大学的教授德·摩
尔根（1806—1871），摩尔根未能提出证明。 1879年，肯普在《美国数学
杂志》上发表了对四色问题的一个“证明”。然而，约十年后，希伍德在伦
敦《数学季刊》上指出了肯普推证中的错误，并给出了他的一个证明。但希
伍德只能证明：用五种颜色给平面或球面上的地图着色是足够的。许多数学
家后来在四色问题上作了工作，虽有一定进展，但均未彻底解决。
直到电子计算机发明之后的1976年，美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈
肯等人，在前人工作的基础上，将问题化为1500个构形，然后逐一证明这
些构形的可约性。他们借助计算机，分析计算了一千多个小时，才证明了这
个世界难题。
1943年至1945年，美籍中国数学家陈省身完成了两项划时代的重要工
作，首创应用纤维丛概念于微分几何学的研究，得出了一系列刻划纤维丛的
陈省身示性类，对拓扑学和微分几何学的发展有重大影响。
2．一些颇有影响的数学学派
第一次世界大战结束到第二次世界大战爆发的20余年里，数学取得了
较大进展，并出现了不少颇有影响的数学学派。如波兰数学学派、德国哥廷
根学派、法国布尔巴基学派、苏联的列宁格勒学派和莫斯科学派等。其中的
哥廷根学派和波兰数学学派在第二次世界大战中受到法西斯希特勒的摧
残，由鼎盛而衰落，对数学界乃至整个科学界都是很大的损失。
（1）波兰数学学派
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波兰数学学派的最初组织者是华沙大学教授雅尼斯柴夫斯基。1918年，
他提出波兰数学家应“为波兰数学赢得特殊地位”，不能“只充当外国数学
中心的仆从和顾客”，并提出三条措施：一是集中人力于某一领域，如集合
论、拓扑学等；二是创办一个杂志，专门刊登集合论等方面的文章，使之达
到国际一流水平；三是创造一种适合数学研究的气氛，即创造一个生产数学
的锻炉。波兰后来在华沙和里沃夫形成了专攻集合论、