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�678个波。
这些关系完全是从经验得来的，最初是靠揣测，最后才求得一项符合于实验结果的算术规则。但是玻尔却根据量子论提出了解释。他指出：如果“作用量”只能以单位的整倍数被吸收，则在电子可以运行的全部轨道中，只有某些个是可能的。在最小的轨道上，作用量为一个单位或h，在第二轨道上，作用量为2h，如此类推。
玻尔假设氢原子的一个电子有四个可能的稳定轨道，相当于以单位数递增的作用量，如图13所表示的那样。图中的圆圈表示这四个稳定轨道，而其半径表示电子从一个轨道跳至另一个轨道可能的六种跃迁。这里，玻尔抛弃了牛顿的动力学，而值得注意的是平方反比律仍可应用于假设围绕原子核运行的电子，但是这些轨道本身又表现十分新奇的关系。一个行星可以在无穷多个轨道当中的任何一个轨道上围绕太阳运动，其实际的轨道为其速度所决定。可是，玻尔假定一个电子只能在几个轨道当中的一个轨道上运动。它如果离开一个轨道必须立刻、好象不经过二轨道间的空间那样，跳到另一轨道上去。由这个假设得出的理论上的结果，与通过实验所确立的关于振荡数的经验规则相当符合。还可从这里计算出常数R的绝对值为每厘米109，800波，与上面所说的最近测定的里德堡常数之值异常符合。在这一阶段，玻尔学说表现有其长远而成功的前途。
辐射的各种不同的类型可以归因于原子结构的各不同部分。X射线的光谱大都不受温度或原子的化合状态的影响。而可见光与红外及紫外光的光谱则与这两者有关。放射现象，上面说过，是原子核的爆裂造成的。现今所得的数据表明X射线起源于原子核外的内层电子，而可见光与红外及紫外线则来自最外层的电子；这些外层电子比较容易脱离，因而是和凝聚力与化学作用有关系的。
假设一个或多个电子同时存在于互相化合的二原子内，则可给化合作用以很好的解释。但如果围绕原子核而转动的电子理论来表示这种结合，则未免困难，因此在1916至1921年间，有人，特别是科塞尔（Kossel）、刘易斯（Lewis）与兰格缪尔试图创造静止的原子模型。这种模型对于原子价与化学性质的解释是成功的，但要想阐明光谱则不得不创设牵强附会的假设了。无论如何，当时的物理学家总是偏向于玻尔的动力的原子模型的。
无论采取哪一种原子模型，电离电位的事实，确是能级的基本观念的有力的证据。1902年勒纳德首先证明，电子经过气体时，必具有一定最低限度的能量，才足以产生电离。这最低的能量可以用电子为了获得其速度所必须降落的电位的伏特数来量度。最近实验的结果，如弗兰克（Franck）与赫兹关于汞蒸气的实验（1916－1925），证明当电位达到某一定伏特的倍数时，电离便达到某些明确的极大值。同时气体的光谱也发生了变化。例如弗兰克与赫兹证明，具有4．9伏特所产生的速度的电子使低压的汞蒸气发出具有一条明线的光谱。可以设想，这条谱线相当于玻尔原子内电子从第一外层回到其正常状态的跃迁。自那时以后，正象玻尔学说所预期的，已经发现许多“临界电位”，同突然出现的若干条或若干群谱线相当。萨哈（Saha）、罗素（Russell）、福勒（Fowler）、米尔恩（Milne）等研究了温度与压力对于光谱的影响。他们用热力学的方法应用了这些新概念。所得结果在天体物理学上有很大重要性，而且在恒星温度的测量方面揭开了新的一页。
图13所表示的圆形轨道，仅是氢原子的一个初浅的模型。玻尔与索末菲（Sommerfeld）都证明椭圆轨道也可产生同样的系线光谱。他们也研究了其他更为复杂的原子系统，但数学上的困难很大，因为互相吸引的三体的运动不能以有限的项数来表达。
关于玻尔原子的文献很多，进展也很不少。其结果与光谱的粗略结构大体相合，很足以使人相信这个学说在正确的途径上前进。但是这个学说虽然能说明氢和电离氦的线状光谱，却不能解释中性氦的原子光谱的精细结构，以及其他重原子的复杂结构。谱线的数目与电子从一能级到另一能级的可能跃迁数，不再相符。于是一时极为成功的玻尔原子学说渐露破绽，到1925年就显然逐渐破产了。
量子力学
玻尔的原子模型，把电子比拟为运转的行星。这个模型远离观察到的事实，超出万无一失的范围。对于原子，我们只能从外面进行考察，观察进去的与出来的东西，如辐射或放射质点等。玻尔所描绘的是至少可以产生原子的某些性质的一种机制。但是别的机制或许也可以产生同样的作用。如果我们只见时钟的外面，我们可以想象有一套推动时钟指针的齿轮，使指针的转动与我们所看见的相同。但是别人也可想象有另一套齿轮，与我们所想象的一样有效。二者孰是孰非，无人可以断言。此外，仅仅研究一个体系中热量与能量的变化的热力学，也并不能利用原子观念所描绘的内部机制的图象。
1925年，海森堡只根据可以观察到的事实，即原子所吸收或发射的辐射，创立了量子力学的新理论。我们不能指定一个电子某一时刻在空间中所占的位置，或追寻它在轨道上的行踪，因而我们无权假设波尔的行星式轨道的确是存在的。可以观察到的基本数量是所发出的辐射的频率与振幅以及原子系统的能级。这些数量正是这个新理论的数学公式的依据。这一理论已经由海森堡、玻恩（Born）和约尔丹（Jordan）迅速加以推进，并从另一观点由狄拉克（Dirac）迅速加以推进，而且证明，从这一理论可以推出巴尔默关于氢光谱的公式，以及观察所得的电场与磁场对这一光谱的效应。
1926年，薛定谔从另一个角度来解决这个问题。他发挥了德布罗意关于相波与光量子的研究成果，根据“质点由波动体系组成，或者说只不过是波动体系而已”的观点，导出另外一个理论。这个理论，在数学上实与海森堡的理论等价。他以为，运载这种波的介质具有散射性，如透明物质之于光，或高空电离层之于无线电波（413页）一样。所以周期愈短，速度愈大，而两种频率不同的波有同时共存的可能。
正如在水中一样，一个单独的波的速度与波群或浪的速度并不相同。薛定谔发现：计算两个频率组成的波群的运动的数学方程式，与具有相当动能与位能的质点的通常的运动方程式相同。由此可知，波群或浪在我们面前表现为质点，而频率则表现为能量。这就立刻导致最初出现在普兰克常数h中的能量与频率的不变关系。
两个振荡很快、以至不能看见的波，可以因为相互干涉，而产生表现为光的一些“拍”，正如两个音调相差不远的声晋，可以产生音调比任何一个都低的拍一样。在含有一质子与一电子的氢原子里，波一定依照方程式的规定而存在。而薛定谔发现，只有在确定的频率，即与观察到的谱线相同的频率的情况下，这些方程式才有解。遇到较复杂的原子，玻尔学说本来已经失去效用，薛定谔却还能求得频率的正确数目，以解释光谱的现象。
如果薛定谔的波群中的一个很小，则无疑地可以指出表现这个波群的电子的地位。但随着群的扩大，电子可在波群之内任何地方，因此位置便有某些不确定。这些原理在1927年由海森堡加以推广，后来又由玻尔加以推广。他们发现：愈是想把质点的位置测定得精密些，则其速度或动量的测定将愈不精密；反之，愈是想把质点的速度或动量测定得精密些，则其位置的测定将愈不精密。总之，我们对于位置的必然不确定度与对于动量的不确定度相乘，无论如何近似地等于量子常数h。要同时确定两者的想法，似乎在自然界中找不到对应的东西。爱丁顿将这一结果叫做测不准原理，并且认为这一原理与相对论有同等的重要性。
新量子力学在习惯于革命的物理科学中又掀起了革命。海森堡、薛定谔和其他学者的数学公式是等价的。我们如果满足于这些数学方程式，对于这个理论便会有相当的信心。但是这些方程式所根据的观念，以及某些人给与它们的解释，却根本互不相同。我们很难说这些观念与解释可以维持很久，不过表现这些观念和解释的数学却是一个永久的收获。
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