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形便是相等的。要判断这个定义，我们可以作这样的考虑：相等既然是一种关系，所以严格说来，相等并不是形的本身的一个特性，而只是由心灵对一些形所作的比较中产生出来的。因此，相等关系如果在于各部分之间这种假想的叠合和互相接触，我们就必须至少对这些部分有一个明晰的概念，并且也必须想像到它们的接触。但是显然，在这种想像中，我们就要把这些部分分到我们所能想像的最小限度；因为较大的部分的接触决不能使这些形成为相等。但是我们所能想像的最小部分就是数学点：因此，这个相等标准与点数相等的标准是一样的；而后面这个标准，我们已经判定是一个虽然确当但是无用的标准。因此，我们必须在别处寻求现在这个困难的解决。
＇有许多哲学家不肯指定任何相等的标准，而只是说，只要拿出两个相等的对象来，就足以给予我们以这个比例的一个正确观念。他们说，如果没有对于这一类对象的知觉，一切定义都是无效的；而当我们知觉到这类对象时，也就不再需要任何定义了。我完全同意这个推理，并且主张，关于相等或不相等的惟一有用的概念，是从各个特殊对象的整体现象和比较得来的。＇
因为，显而易见，眼睛、或者倒不如说是心灵，往往在一看之下就能够确定物体的比例，断言它们是相等、较大或较小，不必考察或比较它们的微小部分的数目。这一类的判断不但是很普通的，而且在许多情形下还是确实而无误的。当一码的长度和一尺的长度呈现在前时，心灵就不能怀疑码比尺较长，像它不能怀疑那些最为清楚和自明的原理一样。
因此，心灵在它的对象的一般现象中区别成三种比例，把它们称为较大、较小和相等。但是心灵关于这些比例的判断虽然有时是正确的，但并非永远如此：我们这一类的刊断并不比关于其他任何题材的判断更能冤于怀疑和错误。我们通常是借检查和反省来改正我们的第一次的意见：我们会肯定我们原来认为是不相等的对象是相等的，我们会认为先前显得比另一个对象较大的一个对象是较小的。我们感官的这种判断也不单是受到这样一种的校正；我们还往往把一些对象并列起来，借以发现自己的错误。而在无法并列的时候，我们便用一种共同的和不变的尺度连续地加以度量，这就把各种不同的比例报告我们。甚至这种校正也还容许新的校正，并且也可以有各种不同的精确程度，这就要看我们度量物体时所用的工具的性质如何，和我们进行比较时仔细的程度如何而定的。
因此，当心灵习惯于这些判断和它们的校正，并发现使两个形在眼中显出我们所称为相等这一现象的那个同一的比例，同样也使这两个形互相符合，并且符合于比量它们的任何共同尺度的时候，我们便从粗略的和精密的两种比较方法得到一个关于相等的混合概念。但是我们还不以此为足。因为，由于健全的理性使我们相信，除了呈现于感官前的物象以外，还有远远地比它们小得很多的物体；而虚妄的理性又要促使我们相信，还有无限地更为微小的物体；于是我们便清楚地看到，我们并没有任何度量的工具或技术，可以使自己免除一切的错误和不确定。我们知道，这种微小的部分增加或减少一个，无论在现象中或度量时，都是觉察不到的；而由于我们想像，两个原来相等的形在经过这种增加或减少以后、不可能还是相等，所以我们就又假设了某种假想的相等标准，以便精确地校正种种现象和度量，并将种种的形完全归约到那个比例。这个标准显然是假想的。因为，相等观念本身既然是由并列或共同的尺度所校正过的那样一个特殊现象的观念，所以除了我们具有工具或技术可以进行校正以外，其他任何的校正概念都只是心灵的一种虚构，既是无用的，也是不可理解的。不过这个标准虽然只是假想的，而这个虚构却是很自然的；而且原来促使心灵开始任何活动的理由即使停止了，心灵仍然会依照这种方式一直继续下去，这也是十分通常的事情。在时间方面，这一点显得十分明白；在这方面，我们显然没有确定各部分的比例的精确方法，这里的精确程度甚至还不及在广袤方面：可是我们的测量标准的各种校正以及它们的各种精确程度，却给予我们以一个模糊的、默认的完全相等的概念。在其他许多题材方面，情形也是一样。一个音乐家发现自己的听觉一天一天地变得精细起来，同时借反省和注意经常校正自己，于是即使在他对于题材无能为力的时候，仍然继续同一的心理活动，并认为自己有一个完整的第三音或第八音的概念，虽然他无法说出自己从哪里得到他的标准。一个画家对于颜色也形成同样的虚构。一个机匠对于运动也是一样，画家设想明和暗，机匠设想快和慢，认为都能够有一种超出感官判断以外的精确的比较和相等。
我们也可以把同样的推理应用于曲线和直线。
对感官来说，没有东西比曲线和直线的区别更为明显的了，也没有任何观念比这些对象的观念能够被我们更容易地形成的了。但是，不论我们怎样容易形成这些观念，我们却无法举出确定它们的确切界限的任何定义来。当我们在纸上或任何连续面上画出一些线条的时候，这些线条依照一定的秩序从一点到另一点移动，因此可以产生一条曲线或直线的完整印象；但是这种秩序是我们所完全不知的，被观察到的只是合成的现象。所以，即使根据不可分的点的理论，我们对这些对象也只能形成某种不知的标准的模糊概念。要是根据无限可分说，我们甚至走不到这么远的地步，而只好归到一般的现象，以它为决定一些线条是曲线或是直线的准则。但是，对于这些线条，我们虽然不能给予任何完善的定义，也不能举出任何十分精确的方法来把一条线和另一条线加以区别；但这并不妨碍我们作更精确的考究，并以我们经过屡次试验认为它的正确性比较可靠的一个准则来作比较，借以校正最初的现象。就是由于这些校正，并由于心灵在已经没有理性作为根据时仍然要继续同样的活动，所以我们就形成对于这些形的一个完善标准的模糊观念，虽然我们并不能加以说明或加以理解。
的确当数学家们说“直线是两点之间最短的路线”时，他们自以为是下了一个精确的直线定义。但是，首先我要说，这更恰当地是直线的特性之一的发现，而不是它的正确定义。因为我问任何人，在一提到直线时，他岂不是立刻会想到那样一个的特殊现象，而只是偶然才会想到这种特性吗，一条直线可以单独地被理解，可是我们如果不把这条直线和我们想像为较长的其他线条加以比较，这个定义便不可理解。通常生活中有一个确立的原理，即最直的路线总是最短的路綫；这就和说最短的路线总是最短的路线一样荒谬，如果我们的直线观念与两点之间最短路线的观念并无差别的话。
第二，我再重复一次我已经确立的说法，即我们不但没有精确的直线或曲线的观念，同样也没有精确的相等或不相等、较短和较长的观念；因此，后者绝不能给予我们对于前者的一个完善的标准。一个精确的观念永远不能建立于那样模糊而不确定的观念之上。
平面的观念也和直线的观念一样，不能有一个精确的标准，除了平面的一般现象以外，我们也没有任何其他判别这样一个平面的方法。数学家们把平面说成是由一条直线的移动而产生出来的，这是无效的。我们可以立刻反驳说：我们的平面观念之不依赖于这种形成平面的方法，正如我们的椭圆形观念之不依赖于锥形的观念一样；我们的直线观念也并不比平面观念更为精确；一条直线可能不规则地移动，因此而形成一个与平面十分不同的形；因此，我们必须假设这条直线要沿着两条互相平行的并在同一平面上的直线移动；这就成了以事物的本身来说明这个事物、循环论证的一个说法。
由此看来，几何学中一些最根本的观念，即相等和不相等、直线和平面那些观念，根据我们想像它们的通常方法，远不是精确而确定的。不但在情况有些疑间时，我们不能说出，什么时候那样一些特殊的形是相等的，什么时候那样一条线是一条直线，那样一个面是一个平面；而且我们同样也不能对于那个比例和这些形形成任何稳定而不变的观念。我们仍然只能乞求于我们根据对象的现象所形