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III．反对“广袤的部分”不可分说的许多反驳，都是从数学中得来的，虽然初看起来数学似乎反而是有利于现在这种学说的。不过数学在它的证明方面虽然是和现在这种学说相反的，但在它的定义方面却完全和现在这种学说符合的。因此，我现在的任务就必然是要辩护数学的定义，而驳斥它的证明。
一个面被下定义为只有长度和宽度而没有厚度：一条线被下定义为只有长度而没有宽度或厚度；一个点被下定义为没有长度、没有宽度、也没有厚度的东西。显然，如果不根据广袤是由不可分的点或原子组成的这一假设，那么根据其他任何的假设，这一套的说法便都是完全不可理解的。除了这个假设所假设的情形以外，任何没有长度、没有宽度或没有厚度的东西能够存在么，
对于这个论证，我发现曾有两个不同的答复：据我看来，这两个答复没有一个是满意的。第一个答复是：几何学的对象，即几何学研究它们的比例和位置的那些面、线和点，只是心中的一些观念，不但从未存在于、并且也永远不可能存在于自然界中。这些对象从未存在过，这是因为没有人会自称能够完全符合了定义去画一条线或作一个面；这些对象也永远不能存在，这是因为我们可以就从这些观念中提出论证来证明它们是不可能的。
但是，我们能够设想还有比这种推理更为荒谬而矛盾的任何说法么，凡能通过一个清楚和明晰的观念而被想像的东西必然涵摄它的存在的可能性；一个人如果自称借着由这个清楚的观念得来的任何论证末证明那个东西不可能存在，那他实际上就是在说，因为我们对它有一个清楚的观念，所以我们对它没有清楚的观念。在心灵能够明晰地想像的任何事物中，要想找出矛盾来，那是徒然的。如果它包含任何矛盾，那它就绝不可能被人想像。
因此，在承认不可分的点的可能性和否认这种点的观念这两者之间，没有任何中介；对于前述论证所作的第二个答复，就是根据于后面这一个原则。有人主张说＇5＇， 我们虽然不能想像一个没有任何宽度的长度，可是我们可以通过一种不必把两者分离的抽象作用，单独考虑其中之一，而不去考虑另外的一个，正像我们可以考虑两个城镇间的道路的长度，而忽略去它的宽度一样。不论在自然界或心中，长和宽都是不可分的；但这并不排斥根据前面所说明的方式去作一个片面的考虑和理性的区别。
在反驳这个答复时，我自然可以援引我在前面已经充分地说明的那个论证，即心灵如不能在它的观念方面达到一个最小的限度，那么它的能力必然是无限的，这样才能接纳它的任何广袤观念所由组成的无数的部分。不过我在这里不坚持我的这个论证，而将力图在上述的那种推理中发现一些新的谬误。
一个面是一个立体的界限，一条线是一个面的界限；一个点是一条线的界限：不过我肯定说，如果一个点，一条线或一个面的观念不是不可分的，我们便不可能想像这些界限。因为，假设这些观念是无限可分的，随后再使想像力图固定在最后的面、线或点的观念上，想像便立刻会发现，这个最后的观念分裂为一些部分；而当想像抓住这些部分中的最后一个时，便又由于一次新的分裂而失去掌握，如此无限地继续下去，想像将永远不可能达到一个最后的观念。不论分裂多少次数，也都不能比想像所形成的最初观念使想像更为接近于最后的分裂。每一个分子都因为一次新的分裂，使人无法掌握，正像我们竭力去抓住水银的情况一样。但是，由于事实上必须有某一个观念来作为每一个有限的数量观念的界限，而且这个界限观念本身不能再由一些部分或较小的观念组成，否则便是它的最后部分才是观念的界限，（如此一直可以推下去）；这就清楚地证明了面、线和点的观念不容许再分的了，即面的观念在厚度上不能再分，线的观念在宽度和厚度上不能再分，点的观念在长度、宽度、厚度任何一方面都是不能再分的了。
烦琐哲学家们十分感到这种论证的力量，因而他们中间有些人就认为，自然在那些无限可分的物质分子中间掺进去了一些数学点，借以作为物体的界限；其他一些人却又通过一大堆毫无意义的指摘和区别，企图逃避这个论证的力量。这两种敌人都同样地认输了。一个躲藏起来的人正和一个公开地交出武器来的人一样，都是明显地承认了他们敌人的优势。
由此可见，数学的定义摧毁了它的那些所谓的证明；如果我们有符合定义的不可分的点、线和面的观念，它们的存在也就确实是可能的；但是如果我们没有这样的观念，我们便不可能想像任何一个形的界限；而要是没有了这种概念，那就不可能有几何的证明。
不过我还可以再进一步断言，这些证明没有一个具有充分的力量，足以建立像无限可分说的那样一个原则。这是因为对于这些微小的对象来说，这些证明不是恰当的证明，因为它们所依靠的观念并不精确，它们所依靠的原理也并不正确。当几何学关于数量的比例有所决定的时候，我们不应当要求极端的确切和精确。几何的证明没有一个达到这样的程度。它正确地设定形的度次和比例，但只是粗略地，而且有些任意。几何学的错误从来不是重大的，而且如果几何学不是企图达到那样一种绝对的完善，它就根本不会错误。
我首先要问数学家们，当他们说一条线或一个面等于、大于或小于另一条线或另一个面的时候，他们的意义是什么，让任何一位数学家作出一个答复，不论他属于哪个学派，也不论他是主张广袤是由不可分的点组成的，或是由无限可分的数量组成的。这个问题将会使这两种人同样地感到困难。
很少或者简直没有一个数学家拥护不可分的点的假设；可是恰好是这些数学家们对于现在这个问题给予最敏捷而最确当
的答复。他们只须答复说： 当一些线或一些面中间的点的数目相等时，这些线或面也就相等；而且随着点的数目比例的变化，线和面的比例也就跟着变化。这个答复虽然是明显的，而且又是确当的，可是我可以肯定说，这个相等的标准是完全无用的，而且我们在决定一些对象彼此相等或不相等时，也永远不根据这样一种的比较。因为，由于组成任何线或面的一些点，不论是视觉还是触觉所感知的，都是那样地微小而且互相混淆的，所以心灵绝不可能计算它们的数目，这样一种计算永远不能为我们提供一个判断各种比例的标准。没有人能够通过精确的计数去决定，一寸此一尺所含的点较少，或者是一尺比一埃耳（ell）或其他较长的尺度所含的点较少。由于这个缘故，我们很少或永不认为这种计数法是相等或不相等的标准。
至于设想广袤是无限可分的那些人，就不可能利用这个答复，或是通过任何一条綫或一个面的组成部分的计数，来决定这条线或这个面是否和另外的綫或面相等。因为，按照他们的假设，最小的和最大的形既然都包含有无数的部分，而无数的部分，恰当地说，彼此又不能是相等的或不相等的，所以任何空间部分的相等或不相等，绝不能决定于它们的部分的数目的任何比例。诚然，人们可以说一埃耳和一码的不相等，在于组成两者的尺数不同，而一尺与一码的不相等在于组成两者的时数不同。不过由于在一种长度方面所称为寸的那个数量被假设为等于另一种长度方面我们所说的寸，而由于心灵不可能无限地参考这些较小的数量，来发现这种相等的关系；那么显然，我们最后就不得不另外确立一个和部分计数法不同的标准。
还有些人＇6＇认为，相等的最好的定义就是相合（congruity），当任何两个形互相重叠、而它们的各个部分都是互相符合和接合时，这两个形便是相等的。要判断这个定义，我们可以作这样的考虑：相等既然是一种关系，所以严格说来，相等并不是形的