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团体决策的困境
和其他类型的多人博弈一样，投票当中也会出现策略问题。投票者常常不愿表达自己的真实倾向。
无论是少数服从多数的规则，或是任何其他投票机制，都不能解决这个问题，因为现在尚不存在一个完美无缺的体系，可以将个人的倾向会聚成人民的意愿。
比如，三位女郎结伴逛街，临近中午她们打算一起吃午饭。她们都喜欢洋快餐，正好这条街上有麦当劳、肯德基和必胜客，可是每个人的偏好不同：A喜欢麦当劳，其次是肯德基，最不喜欢必胜客；B的偏好依次是肯德基、麦当劳、必胜客；C的选择却又不同：必胜客、麦当劳、肯德基。假定这三人一定要一起吃饭，那么会出现什么结果呢？
因为三个人的喜好如此不同，难于达成一致，所以她们决定采取投票表决的方式，先在麦当劳与必胜客之间决出一个胜者，然后再与肯德基决胜。
如果是每个人都诚实投票，那么，麦当劳将战胜必胜客（因为B在两者之间倾向于前者），并在第二轮战胜肯德基。但是如果B不诚实投票，结果就会大不一样。
B知道其他人的偏好，而且她希望达到自己满意的结果，于是在第一轮故意投票给必胜客，于是必胜客获胜；在第二轮，肯德基又战胜必胜客，于是，B通过策略实现了自己的愿望。可是这个愿望并不是符合大家的最大利益的——理想的结果应该是麦当劳，因为在三个人的综合评价中，它的分数最高。
因此投票制的民主实是知易行难，由于排名内部的模棱两可，造成狡猾的候选人有极大的操弄空间，无论什么规则都会造成公平选举遭到扭曲。所有政治演说也常谈到尊重“人民意愿”，却不容易做到。事实上，也几乎不可能决定何者是人民的意愿。通常宣称实行民主制度，远比实际实施民主要容易得多。显然这种决策困境亟待深入探讨。
启示：民主政府的基石在于尊重人民通过投票箱表达的意愿。不幸的是，这些崇高伟大的想法实现起来并不那么容易。
“三个快枪手”
细致烦琐的推理过程也许让你有点疲惫了，下面我们来点刺激的，到充斥着野蛮暴力的西部世界（至少是西部片的世界）去走一遭。
在一个西部小镇上，三个枪手正在进行生死决斗，枪手甲枪法精准，十发八中；枪手乙枪法不错，十发六中；枪手丙枪法拙劣，十发四中。假如三人同时开枪，谁活下来的机会大一些？
假如你认为是枪手甲，结果可能会让你大吃一惊：最可能活下来的是丙——枪法最劣的那个家伙。
假如这三个人彼此痛恨，都不可能达成协议，那么作为枪手甲，他一定要对枪手乙开枪。这是他的最佳策略，因为此人威胁最大。这样他的第一枪不可能瞄准丙。
同样，枪手乙也会把甲作为第一目标，很明白，一旦把他干掉，下一轮（如果还有下一轮的话）和丙对决，他的胜算较大。相反，如果他先打丙，即使活到了下一轮，与甲对决也是凶多吉少。
丙呢？自然也要对甲开枪，因为不管怎么说，枪手乙到底比甲差一些（尽管还是比自己强），如果一定要和某个人对决下一场的话，选择枪手乙，自己获胜的机会要比对决甲多少大一点。
于是第一阵乱枪过后，甲还能活下来的机会少得可怜（将近10％），乙是20％，丙是100％。
通过概率分析，你会发现丙很可能在这一轮就成为胜利者，即使某个对手幸运地活下来，在下一轮的对决中，也并非十拿九稳，毕竟丙还有微弱的机会。
现在换一种玩法（我们知道，有时胜负是由规则决定的）：三个人轮流开枪，谁的机会更大？
这里我们又要遇到琐碎的排序问题，但不管怎么排，丙的机会都好于他的实力。至少，他不会被第一枪打死。而且，他很可能有在第二轮首先开枪的便宜。
例如，顺序是甲、乙、丙，甲一枪干掉了乙，现在，就论到丙开枪了——尽管枪法不怎么样，但这个便宜还是很大的：那意味着他将近一半的机会赢得这次决斗（毕竟甲也不是百发百中）。如果乙幸运地躲过了甲的攻击呢？他一定要回击甲，这样即使他成功，下一轮还是轮到丙开枪，自然，他的成功概率就更大了。
问题来了：如果三人中首先开枪的是丙，他该怎么办？
他可以朝甲开枪，即使打不中，甲也不太可能回击，毕竟这家伙不是主要威胁，可是万一他打中了呢？下一轮可就是乙开枪了……
可能你会感到有点奇怪：丙的最佳策略是乱开一枪！只要他不打中任何人，不破坏这个局面，他就总是有利可图的。（当然，你可能会说，鉴于这家伙的没有准头，也许他乱开枪反而更可能打中什么人。但那就是另外的问题了。）
这个故事告诉我们：在多人博弈中，常常会发生一些奇奇怪怪的事情，并导致出人意料的结局。一方能否获胜，不仅仅取决于他的实力，更取决于实力对比造成的复杂关系。
启示：通过这个故事，你也可能会理解以下“定理”：才华出众者创造历史；碌碌无为者繁衍子孙。
暂时同盟
你可能已经发现：乙和丙似乎达成了某种默契：在甲被干掉之前，他们相互不是敌人。
这不难理解，毕竟人总要优先考虑对付最大的威胁，同时这个威胁还为他们找到了共同利益，联手打倒这个人，他们的生存机会都上升。而且，从悲观的角度看，他们恐怕也活不到需要相互拼个你死我活的时候。
但这个“同盟”也是很不牢固的，两个人都在时时权衡利弊，一旦背叛的好处大于默契的好处，他们马上就会翻脸。
在这个“同盟”里，最忠诚的是乙——只要甲不死，他就不会背叛；丙就要滑头多了，在前面轮流开枪的例子中，他不朝甲开枪，从同盟者的角度说，就是没有履行义务，而把盟友送上危险的境地，这不是因为道德水平不同，而是处境不同。乙是甲的头号目标，这个敌人一定要向他开枪的，完全没有回旋的余地；而丙不同，他随时愿意牺牲乙换取下次自己的先手之利。
除了压力较小之外，而且还有一个动力驱使丙背叛，那就是一旦干掉甲后，乙的机会比他要大，他至少要保持先下手，才可能一争高下。
三国博弈
三国的曹、刘、孙三家关系，就是“枪手博弈”很典型、也很有趣的例子。
“赤壁之战”中，曹操实力最强，孙权次之，刘备最弱。孙、刘都无法单独对抗曹操。为了抵挡最强大的曹操，孙刘必须联合起来。孙权拥有六个郡的地盘和数万军队，而刘备没有地盘，只有不足两万人马。用前面的例子来比，孙权是乙，刘备是丙。
我们已经知道，乙是这个“暂时联盟”中较肯卖力的一方，所以孙权不但“火烧赤壁”打败曹操，更在此后还长期承担了对抗曹操的主要任务。而刘备虽在赤壁之战中也出了力，但此后几年未与曹操打过大仗（也就是没有尽联盟义务）。倒是趁此机会扫荡地方势力，扩充地盘，直至占据两川，将曹操赶出汉中，又派关羽北伐，水淹七军，不但取代了孙权原来的老二地位，甚至有可能击败曹操，成为新的老大。孙权地位跌落到老三，他的策略也随之改变。
于是孙权趁关羽北伐后方空虚之机，与曹操合谋，夺取了荆州，杀死关羽。结果是同盟破裂，刘备兴兵报仇，又被孙权打败。蜀汉从此衰落，东吴也面临了两面作战的不利局面。
如果分析一下孙权的心理，我们可能对他的背信弃义有更多同情。赤壁之战尽管符合他的利益，但到底是他出力挽救了刘备，此后他不但把荆州长期借给刘备，还把妹妹嫁给了这个老头子。他尽了同盟的义务，曾与曹操大战数次，不仅损兵折将（他的大将太史慈、董袭、陈武等都在战斗中阵亡），而且他自己也险些在逍遥津送命。可是从收益上说，他与刘备是“牛打江山马坐殿”，感到不平衡是正常的。
可是从对策论来看，孙权却犯了一个大错误，由于嫉妒，他过早和刘备翻脸，致使两败俱伤。这就好比枪手丙突然翻脸向乙开火。坐收渔利的当然是甲。虽然曹操的继任者曹丕没能抓住机会夹攻孙权，一举消灭这两个敌手，但蜀和吴此后已经没有可能打败魏国了。
那么，孙权的最优策略是什么？回想上面的枪手决斗就�