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下面将探讨一个看起来对双方似乎都有利的赌博，这是可能的吗？如果不可能，那么，问题究竟出在哪儿呢？
一位教授和他的两个学生——我们称他们为“阿里”和“巴巴”——共进午餐，兴之所至，教授提议“阿里”和“巴巴”玩一个游戏：把他们的钱包交给他，他数了数，发现其中一个装的钱正好是另一个的两倍（但他没有告诉他们谁多谁少），然后他问他们：在这种情况下，他们是否愿意互换钱包？
阿里当然知道自己的钱包里有多少钱，但不知道巴巴的，他想：对方要么是我的1／2，要么是我的2倍，如果是前者，那么我损失了一半；如果是后者，那么我增加了一倍，一倍的收益大于一半的损失，所以这个赌是划算的。巴巴也是这样想，于是两个人都愿意打这个赌。
现在我们用数字更详细说明一下两人的判断：比如，阿里钱包里装的是10元（于是他估计他要么得到5元，要么得到20元，前者损失了5元，后者得到10元，也就是说，在对等情况下，他的收益比损失多5元）。我们知道，如果你和某人玩猜硬币，正面朝上输1元，背面朝上赢2元，这个赌应该打，因为哪一面朝上的几率相同，而收益大大多于损失，如果多玩几次，你的所得肯定大于所失。只是恐怕没有人愿意和你这样玩。
这里出了问题：既然没有人愿意打一个必输的赌，那么交换钱包为什么却是双方自愿的呢？双方交换钱包，不可能使他们的结果都有所改善，因为用来分配的钱不可能交换一下就变多了。推理过程在哪出了错呢？阿里和巴巴是否都应该提出交换呢？阿里或巴巴是否有一方应该提出交换呢？
启示：在密克罗尼西亚有这样一则笑话：十年前，一个有钱人乘快艇到太平洋的小岛上游玩，岛上的居民对他说：“你们有钱人真好，真羡慕你们！”而这位富翁却回答说：“别开玩笑了，我才羡慕你们呢！我努力工作有钱，好不容易放假才可以来岛上游玩，哪像你们就住在这里享受生活。”人们经常会陷入这种“这是理所当然”的错觉中，从而变得更贪得无厌，羡慕别人。
信息与理性
假如阿里和巴巴都是理性的，而且估计对方也是这样，那就永远不会发生交换的事情。这一推理过程的问题在于它假设对方交换钱包的意愿不会泄露任何信息。我们通过进一步考察一方对另一方思维过程的看法，就能解决这个问题。首先，我们从阿里的角度思考巴巴的思维过程。然后，我们从巴巴的角度想像阿里可能怎样看待他。最后，我们回到阿里的角度，考察他怎样看待巴巴怎样看待对自己的看法。其实，这听上去比实际情况复杂多了。可是从这个例子看，每一步都不难理解。
假定阿里知道自己的钱包里有160元，多于一般水平（比如他装这么多钱是为了到饭馆吃一顿大餐，或者要交纳某项费用），在这种情况下，他知道他的数目比较大，而对方钱包里装着320元的可能性很小，也就不愿加入交换。既然阿里在160元的时候不愿交换，巴巴应该在他80元的时候拒绝交换，因为阿里惟一愿意跟他交换的前提是阿里只有40元，若是这种情况，巴巴一定更想保住自己原来的80元。不过，如果巴巴在80元的时候不愿交换，那么阿里就不该在40元的时候交换钱包，因为交换只会在巴巴只有20元的前提下发生。
如果双方掌握了信息（一个人的钱包里一般情况下装多少钱），就会作出理性的决策。可是这是否意味着这个悖论就此破灭了呢？
换还是不换
看来，问题的答案在这两个人对“钱包里应该有多少钱”的常识性估计上，现在我们换一个故事，看看结果有什么不同。
现在有两个人，“酷毙”与“帅呆”，正在花园里一边喝着酒，一边讨论关于精灵的神话。正好有个精灵从此经过，被他们的对话吸引，精灵认为在这个时代，还有人这样仰慕和了解他们值得鼓励，于是便决定给这两个人一点奖赏。于是，他把一笔钱放入两个信封，将信封分给“酷毙”与“帅呆”，出于喜欢恶作剧的个性，精灵透露，这两个信封里金额不同，其中一个是另一个的两倍，但他没有说哪个多哪个少。然后精灵随着一缕轻烟消失无踪。
在精灵消失后，两个人拆开信封，偷看自己拿到的那笔钱，同时心里忖度着，自己到底拿到多的那份？还是少的？
“酷毙”心想：这是笔意外之财，我拿到的数额已经很不错了，如果这是多的那份，“帅呆”就只有我的一半；不过，他也可能很走运，拿到我的两倍。再回顾整个过程，精灵是先把钱装好，密封之后才随机发给我们，因此这是一个对等赌局，两人拿到大份的几率是一半一半。所以也许我应该跟“帅呆”谈个交易，互相交换。既然我赢得一倍金额和损失一半金额的几率都是50％，则仍有期待净利参照上面故事的逻辑。根据决策原则，“酷毙”认为这对他相当有利，便决定和“帅呆”交换。即使“酷毙”没有拆开信封也可以作出相同决定，因为支票的面额并不影响整个思考逻辑。
“帅呆”以同样的方式思考后，也认为与“酷毙”进行交易对自己较有利，于是当“酷毙”一提出交换的建议，“帅呆”马上欣然允诺。两人的情况完全一样，都认为自己能遵从一定的逻辑推理规范。那么，有没有可能两人同时都是对的呢？毕竟这是个零和游戏，“酷毙”赢就等于“帅呆”输，反之亦然，既然不能双赢，就一定有人是错的。但这两人不都是经过缜密逻辑思考了吗？
在竞赛中，双方都认为自己会赢，这在逻辑上当然站得住脚，在运动场上、恋爱或战争的情境里也都很常见。但在这个例子里，竞赛双方都很理性，这也就是悖论的所在。
逻辑中隐藏陷阱
你可能会问：这两个故事不是一样吗，何必要再讲一遍？
真的一样吗？想一想前面的例子是如何解决的？“救命稻草”是我们的生活经验，可是在这个例子里，没有这根“稻草”：别忘了，“酷毙”和“帅呆”对精灵的财富总量和慷慨程度完全没有概念，两人惟一的信息是自己手中信封的金额。这正是与前面的故事的不同之处。谁也不知道精灵到底有多少钱，以及到底有多慷慨。即使你拿到了1个亿，你也不知道到手的是不是多的那一份！
“酷毙”和“帅呆”两人都犯了一个首要的错误，以为中大奖的几率在拆开信封以前或之后完全没有两样。由于精灵在分信之前充分洗过牌，因此两人在拆开信封前得大奖的几率确实是一半一半，但当两人看过内容后，实在没有道理假设他们仍认为自己拿到小额支票的几率还是50％。
这么说吧，不论精灵的奖金是多少，l000元也好，10亿元也罢，他先把奖金分成不等的两份，再充分洗过，“酷毙”拿到任何一个信封的机会都是50％，到此都没有问题。不过在两人拆开信封查看后，情况就完全改观。
所以如果“酷毙”打开信封并发现自己拿到10万元，就可以推论总奖金只有两种可能：如果“帅呆”拿到5万，总数就是15万；如果“帅呆”拿到20万，总数就是30万，而他分到小包的。因此，“酷毙”要算的几率不是究竟自己拿到的是大包还是小包在信封发放前，机会应该是一半一半，而是究竟精灵给的是15万还是30万，这可就是完全不同的选择了。“酷毙”不应该还相信两者出现几率各是50％。如果他认为精灵的财力或慷慨程度有限，那么他应该设想最坏的状况：精灵给的是15万，自己已得到较大笔的奖金，所以不该交换，这个结论跟他一开始的想法正好相反。
当然，“酷毙”也可以假设精灵非常富有，送出个15万、30万根本不算什么。因此，两种情况都有可能，所以结论和先前想法一致，他应该交换。
重点是“酷毙”不能不顾手中拿的是百万还是更多，而做相同的假设，因为这里谈的是几率，