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为了弄清三枚硬币落地时情况完全相同或不完全相同的几率，我们必须首先列出三枚硬币落地时的所有可能性。简单说，一共有八种情况，而只有两种情况是三枚硬币完全相同。这意味着三枚硬币情况完全相同的可能性是1／4，三枚硬币落地时情况不完全相同的式样有六种。因此其可能性是3／4。
换句话说，甲的打算是，从长远的观点看，他每扔四次硬币就会赢三次。他赢的三次，乙总共要付给他15分。乙赢的那一次，他付给乙10分。这样每扔四次硬币，甲就获利5分——如果他们反复打这个赌，甲就有相当可观的赢利。
启示：有时候我们的命运像冬日果树。谁会想到哪些枝条会转绿开花，可是我们希望，我们知道它会如此。
概率——生活的真正指南
前面谈到的每个问题，都与一个概念密切相关，那就是概率。
明天会不会下雨？丢铜板会出现正面还是反面？想拿到一手好牌吗？这些问题都涉及概率
按照巴特勒的说法，概率是“生活的真正指南”。概率论已经广泛运用于科学、技术、经济和生活的各方面。要打好作决策的基础，就得在概率方面多下点工夫。
很少有一个学科像概率论这样说明我们的直觉是多么不可靠。我们的经验甚至常识往往和概率论所揭示的答案相悖。
很多人相信某一独立事件的概率要受到过去的影响。比如在战争中，士兵们相信，躲在新弹坑里比较安全，因为炮弹两次打中同一地点不大可能。这也许有一点道理：大炮每次射击，都可能会因反作用力使炮位稍稍移动，弹着点也可能略有偏差。但是这也只是空谈，因为毕竟不止是一门炮在射击。
有一个故事，讲的是一个谨小慎微的人坐飞机，他很害怕会遇上一个带着炸弹的恐怖分子，于是他就自己带了一个炸弹（当然，炸药已经卸掉了）。他的理由是：一架飞机上有一个带炸弹的恐怖分子的概率很小，一架飞机上有两个带炸弹的恐怖分子的概率就更小了。他认为自己的行为减低了遇到危险事件的可能性，可事实上，他带或不带炸弹不会影响其他旅客带不带炸弹。
当发现我们以为“天经地义”的东西竟是错的，第一反应是不相信，第二反应是想弄明白到底怎么回事。自然，如果没有一点概率学知识，想弄明白也不容易。
决策的形成共有五个步骤，每个步骤都极其简单：一、列出所有可以采取的行动，包括不采用的行动也要列出来，而决策就是从各种可能的行动方案中选出一个来：二、尽可能列出每个行动的可见后果；三、尽量评估每种结果可能发生的机会（可能性，几率），这一点常被忽略，因此应仔细加以讨论；四、试着表达你对每种结果的渴望或恐惧程度；五、最后把列出来的所有因素全部放在一起考量，做出合理的决策。
我们会逐项探讨后面三个步骤（前两项步骤会随着决策而有所不同，故在此暂不讨论）。如果根本没办法列出选择方案或可能的结果，那么你一定得先解决这两个问题，绝没有第二条路可走。毕竟决策的本质就是从众多选择中，挑出一个最好的，其目的就是要达到最佳结果：如果你连选择方案都说不出来，更别想作出任何决策。当然，也不讳言人生的确存在着未知的选择，也会有出乎意料的结果，可惜这些实际生活中的悲剧或惊喜并非本书的主题。本章的目的是为上述的第三个步骤打好基础，也就是讨论概率方面的问题。
启示：某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发生的可能性大小的量叫做概率。例如，在一般情况下，一个鸡蛋孵出的小鸡是雌性或雄性的概率都是1／2。概率，也叫几率，旧称或然率。
概率与机会
一般人一听到概率就害怕，因为这个词太莫测高深，听来就很“数学”，而大多数人在数学方面又极不自信（这并不全怪我们，也要怪那些把数学变成苦役的教师们）。其实，概率与机会其实是相同的概念，不能因为数学家给它起了个拗口的名字，就把这个有用的概念丢弃。
但是，这并不表示概率的深层意义也是粗糙的概念，也不表示数学家或气象局在算概率时，不会用到深奥难解的数学，只能说一般决策用到的概率并不需要那么高深的技巧。生活中有许多情况，即使不了解事物的运作过程，仍可顺利进行。许多人在工作或休闲时都会用到电脑，他们虽然不太知道程序是怎么写出来的，也不知道电脑是怎么制造出来的，对中央处理器、电脑内部零件等如何运作的认知，更是少得可怜。但多数时候，他们还是可以有效操作电脑。汽车驾驶员、电视观众、飞行员，以及众多利用现代科技的人，都是如此。换句话说，就算不知道事物的运作方式，也能使用自如。
这绝不是为自己的无知辩护，相反地，愈了解这个世界，生活就愈丰富、愈美满，也愈能顺利完成每件工作。有人曾说他犯过很多错误，但没有一次是因为知道得太多。其实你不必在开始之前就知道一切，如果你觉得那是必要的，就注定会瘫痪、茫然，以致一事无成。概率不过是0与1之间一个普通的分数结构，也是用来测量事物发生可能性的工具。概率值为0表示绝对不会发生，概率值为1表示定会发生，至于其他数值则表示介于两个极端之间的情形。听起来似乎有点儿循环论证的味道……其实就是！有谁为几率下过定义？再想想，还真有点儿深奥。
先有鸡，还是先有蛋
这里有个问题：究竟是概率（比如我们说的硬币哪一面朝上的可能都是50％）决定了个别事件（某一次掷硬币）的结果，还是个别事件结果的积累决定了概率？比如，你可能会说：“好吧，我承认，硬币哪一面朝上的概率都是50％，可是如果我连扔5次都是正面，那么下一次还是正面的概率就应该小于平均值，否则，整个的概率不是就偏向正面了吗？”
反驳当然容易，比如一个美国人可能不相信全世界每五个人中就有一个中国人，只因为他认识的所有人中没有一个是中国人。原因是他的取样太少了，范围又太窄了。
概率本身就是有趣又重要的课题，我们说投掷一个铜板正面朝上的机会是五五波，50％或是概率0。5，指的是同一件事吗？乍看之下好像是典型的循环论证，因为如果出现正面的次数多了，就说明那个铜板是假的。西方电影里头戴黑帽的赌徒一碰到自己手中的牌不符合概率原则，就气急败坏地拂袖而去，显然这些电影里的角色对所谓公平赛局早已了然于心。
简单地说，一个理性的人对赌局的预期，就是概率，信不信由你。要把这个人的想法换成数字，只要看他在赌局下注的比例，再把这个比例换算成概率就行了。拿掷铜板来说，他可能会说正反面机会各半，这时你就知道：哈，那就是0。5的概率了，下一块钱就赢一块。再譬如掷两粒骰子，你想知道掷中7的机会有多少，受过教育的赌徒会告诉你是l∶5，那么你就可以算出掷出7的概率是l／6或0。1667。这个比例也许是经过计算，也许是长期经验累积而来，不过都不打紧。
有些守旧的统计学家或数学家会急切地告诉你，这根本是胡说八道。他们说，概率是一种测量铜板在多次的投掷后，正面出现次数所占的比率。如果发生比率刚好是一半，那么机率就是0。5。
但是，究竟是先有鸡，还是先有蛋？《何为先？》一书的作者山谬尔·巴特勒说过，鸡不过是蛋生新蛋的一种方法而已。只要掷的次数够多，铜板就有一半的机会出现正面，这究竟是因为出现正面的概率0。5所造成的，或者不过是概率的定义罢了。再说，又有谁会这么不厌其烦地掷这么多次铜板？如果今天就得下注，你还会在乎长期结果如何吗？从口袋里拿出一个铜板，或是足球裁判丢铜板决定哪一队先开球，这第一次掷的铜板又会如何？所谓长期或次数够多又有何用？长期或次数够多是古老而过时的概率定义，高学历的统计专家已逐渐摒弃这种定义，原因很多，其中至少包括一点：基本上，在第一次掷铜板之前，就可以有相当的把握说出概率多寡，根本不需要掷上亿上兆次，更何况法则是无法由实验结果来定义的。
绝对对称
但如果这个原则用得过于浮滥，就会出问题，因为这个推理只能用于每个可能�