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CD的平行角，使得所有过C点与CD所成的角小于π （a）的直线将与直线l
相交，过C点的其它直线将不与直线l相交。在罗巴切夫斯基几何学中，除
平行线外，过C点而不与直线l相交的直线称为分散线，或超平行线。但是
在欧几里得意义下这些直线与直线l平行，所以从这意义说，在罗巴切夫斯
基几何学中过C点有无穷多条直线平行于直线l。
与罗巴切斯基同时，波尔约也独立发现了非欧几里得几何学，他把研究
结果写成题为《绝对空间的科学》的论文，附录于他父亲的一部讨论数学基
础的著作之后，在1832年出版。
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高斯约在1816年期间就获得非欧几里得几何学的基本思想，他已认识到
欧几里得平行公理不能在欧几里得几何学的其它公理、公设的基础上证明，
并且得到了在逻辑上相容的一种非欧几里得几何学，在其中欧几里得平行公
理不成立。然而高斯始终没有把这些研究结果发表出来，在一封信中他解释
说，是因为害怕这一思想不能被人们理解。
诚然，作为非欧几里得几何学发现的直接结果是欧几里得平行公理的问
题被最终解决，即欧几里得平行公理被证明是独立于欧几里得几何学的其它
假设。两千多年来，欧几里得几何空间一直被认为是反映现实世界的唯一正
确的几何空间，但是非欧几里得几何学的发现使得这种根深蒂固的观念动摇
了，从而为后世创造不同的几何体系开辟了道路。
非欧几里得几何学的创立在数学中导入了富有革命性的思想，但是由于
它背叛了传统观念，因此在它创立之初并未引起人们的重视。1866年贝尔特
拉米（1835—1899，意大利）发表了《论非欧几何的解释》的论文，给出了
罗巴切夫斯基几何学的第一个模型——伪球面模型，从而罗氏几何学在数学
上得到了确认。
1854年，黎曼（1826—1866，德国）作了题为“关于几何学基础的假设”
的讲演，提出了一种更为广泛的几何学，后来被称为黎曼几何学。黎曼推广
了高斯曲率概念，提出以非欧几里得的黎曼空间的曲率概念作为欧几里得空
间以及各种非欧几里得空间之间差异的量度。在一般的黎曼空间中，空间中
每一点的曲率是不同的，所以黎曼空间的本质是不均匀的。在特殊情况下，
黎曼空间可以具有常曲率。常曲率空间有三种类型，（1）零曲率空间，即欧几
里得空间；（2）负曲率空间，即罗巴切夫斯基空间；（3）正曲率空间，即狭义
的黎曼空间，或椭圆几何空间。于是欧几里得几何学与罗巴切夫斯基几何学
都成为一般的黎曼几何学的特例。黎曼的讲演于1868年刊行出版，黎曼的研
究工作是几何学发展上的一次突破，从而使人们逐渐认清了非欧几里得几何
学发现的革命意义。后来，由于凯莱（1821—1895，英国）与克莱因（1849
—1925，德国）等成功地将各种度量几何学归入射影几何学，以及代数学中
新概念的确立，从而导致在19世纪70年代实现了几何学的一次大综合，即
用群论的观点来刻划各种几何学的特征。
1872年，克莱因在德国埃尔朗根大学的教授职位就职时作了题为《近代
几何学研究的比较评述》的讲演，克莱因在演讲中阐述的基本观点是，每一
种几何学都是由变换群所刻划，并且各种几何学所要做的实际上就是在这个
变换群下讨论其不变量。在这次讲演中克莱因论述了变换群在几何学中的重
要作用，从变换群的观点对各种几何学进行了分类，将各种几何学看作为某
种变换群的不变量理论，以群论为基础统一几何学。根据克莱因的观点，各
种几何学都化为统一的形式。克莱因在这次演讲中所表述的处理、研究几何
学的观点和方法，后来以“埃尔朗根纲领”之称闻名于世，它对于几何学与
物理学的发展产生了重大的影响。
2。代数学的进展——数系的扩展，群论的诞生
近世代数，如同古典代数那样，是关于运算的理论，但它不把自己局限
于研究数的运算的性质上，而是研究更具有一般性的元素上运算的性质，在
19世纪前，数学家对于数系的认识已经形成了自然数、整数、有理数、实数
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和复数五大数系。进入了19世纪，数的理论的研究取得重大进展，对于五大
数系的逻辑结构与性质的研究，建立起了严格的理论；同时数系的扩展使得
代数学得到了解放，为各种新的代数系统的出现提供了基础。
1830年，皮科克（1791—1858，英国）著《代数论》，对代数运算和基
本法则进行了探索性研究，试图对代数学作类似于欧几里得几何学那样的逻
辑处理，以演绎方式建立代数理论。后来，德·摩根 （1806—1871，英国）
等推进了皮科克的工作。德·摩根认为：代数学实际上是一系列“运算”，
这种“运算”能在任何符号（不一定是数字）的集合上根据一定的公理进行。
这新的数学思想使得代数学得以脱离了算术的束缚，在那里，可以看到代数
结构概念出现的踪迹，以及为建立代数公理系统所作的准备，为代数学中更
抽象的思想铺平了道路。
1837年，哈密顿（1805—1865，英国）发表了题为《共轭函数与作为纯
粹时间的科学的代数》的论文，在这篇论文中将复数a＋bi看作实数序对（a，
b）而克服了对复数对几何直观的依赖，用实数序对定义复数的运算，并且说
明复数满足实数的运算规律。这样，实数a被看作特殊的复数 （a，0），从
而完成了数系从实数向复数的扩展，在实数基础上建立起了复数理论的逻辑
基础。哈密顿的这一工作对于后来的代数学发展具有重要的意义。它揭示了
数的概念有不同维数的差别，实数是一维的，复数是二维的，而且引导创造
多维复数的方向。
五大数系的乘法运算都满足结合律与交换律。在 19世纪早期，人们毫不
怀疑地认为一切其它类型的数的乘法都应具有这些性质。1843年，哈密顿提
出了四元数概念，于是一种乘法交换律不成立的数系诞生了。后来，哈密顿
在其论著《四元数讲义》（1853年）和《四元数基础》（1866年）中对四元
数作了进一步论述。一个四元数是一个有序四元数组 （a，b，C，d），或具
有a＋bi＋Cj＋dk的形式，其中a，b，c，d都是实数，i，j，k与复数中i
一样是基本单元。四元数中的a称为四元数的数量部分，bi＋cj＋dk称为四
元数的向量部分。哈密顿还建立了四元数的运算法则，其中四元数的加减法
运算与复数相应运算类似，在乘法运算中基本单元的运算如下：
2 2 2
i=j=k=1，
jk=—kj=i，
ki=—ik=j，
ij=—ji=k。
四元数的乘法满足结合律，但乘法没有交换性。一种不满足乘法交换律的数
学对象的提出，或者说一种非交换的代数结构的发现，是一次重要的代数创
造，它打破了对于“数”所必须遵循的规则的古老信念，四元数理论的建立，
对代数学的影响是深远的，它为向量代数、向量分析以及结合代数理论的发
展打开了大门。
1844年，格拉斯曼（1809—1877，德国）发表了独创性著作《线性扩张
理论》，建立了有n个分量的超复数系理论。超复数比四元数更具有一般性，
格拉斯曼考虑的是一个n元有序实数组（x，x，…，x）或写成xe＋xe
1 2 n 11 22
＋…＋xe的形式，其中e，e，…，e是基本单元，两个这样的超复数可
nn 1 2 n
以定义相等、相加和相乘等运算与关系。但允许有不同的乘法，如格拉斯曼
还为这种超复数引进了称为内积与外积的两种乘法运算。在这里，对于�