按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
幻拦Ъ遥═Damtzig）说： 〃一部分可能有全体之势，这句话与其说像数学，还不如说像神学。〃（《数：科学的语言》，丹齐克，第178页。） 这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。 创建集合论的Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合所成的集合。而这也就是后来的Russell的悖论的内容（《数学原理》（The Principles of Mathematics），1903，P。101。）。（还有诸如以下一些问题：由一切人组成的类并不是一个人。但由一切概念组成的类自身也是一个概念。由一切图书馆组成的类是一个图书馆的概念。由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类集是互相排斥的等等，都是悖论。） 数学史家M·克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出： 〃二十世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性（consistency）问题。
在十九世纪后期，有一些人已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，就爆发成大火。结果，全部数学的逻辑基础，就成为极其严重和被普遍关心的问题。〃（《古今数学思想》，第4卷，第289页。） 此即第三次数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。 这一危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。这个问题至今并未解决。 11、1＋1=？
记者：您所谈到的数学危机令我震憾。在人们的心目中，数学是一切科学的基础，是逻辑严密而且具有精确性的唯一严密科学。
何新：真正的精确性也许只有在初等数学中才能得到。即1＋1=2。但实际上，就连这个等式也并非绝对无可争议。例如把两桶水注入到一个大桶中，在抽象的意义， 结果就是1＋1=1。
记者：有人会说，前面两个〃1〃与后面的〃1〃在质上不同。
何新：然而〃1〃的本质是什么呢？它不仅是数量的基本单位，有时也是一种〃质〃。我可以再举一个例子来说明。 以一个不知大小的数进行运算，可以得到确定的结果。如： X=？ X/X=1 根号2=？ 根号2/根号2=1 我们不必知道〃X〃是什么数，〃 2〃的数值是无理数，也是没有确定值的。但我们以之作相除运算的结果却可以很确定，结果就是〃1〃。为什么？ 在这里，1并不是一个〃数〃，而是指示一种关系，即某物或某量，无论其多么大或多么小，其与自身的比例总是同等大小，这是一种〃质〃的相同。这种关系就是〃1〃。这样考虑的〃1〃，实际已推翻了罗素、怀特海在《数学原理》中对于〃1〃的定义。
12、数理哲学
记者：也就是说，现代数学的一些主要分支，已经发展得高度抽象，而远离了实际的运算阶段。
何新：数学发展已经过三大阶段： （1）算术和初等几何（具体的形量关系）阶段。 （2）代数（抽象数量关系）和抽象几何的阶段。所谓计算的精密和精确性，应当被认为是初等数学阶段的事。代数学已经是与含义无关的一种逻辑抽象。因为：〃显然我们可以用我们愿意用的任何符号，并按我们选定的任何法则去处理它们〃。怀特海（Whitehead）指出，符号的这种任意处理可以是随便的，而只有那些能被赋予某种意义的或具有某种应用的解释才是重要的。 （3）在19世纪末20世纪以来的现代数学阶段，数学已经发展为数理哲学，已成为一种涉及抽象概念之间的逻辑关系的逻辑哲学，成为一种符号模型系统，远远离异于所谓计算以及精密性了。 M·克莱因指出： 〃大约到1850年以后，人们接受了这样一种观点，即数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理论，或者像四元数那样，它们没有直接的物理解释，但却是有用的；或者像n维几何那样，它们满足一种普遍性的要求。〃 〃Cantor为了捍卫他所创造的超限数，说它是一种存在的、真正确定的量时，主张数学和其他领域的区别在于它自由地创造自已的概念，而无需顾及是否实际存在。1883年他说：'数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的要领相协调。数学的本质就在于它的自由。'〃 〃Whitehead在他的《一般代数》中说：代数变换法则的合法性是不依赖于算术的。如果有依赖的话，那么显然可见，代数表达式一旦在算术上不可理解，则关于它们的所有法则就必定失去合法性。代数法则虽是由算术提供的，但却不依赖于它。代数法则完全依靠约定，用以表达某些把符号分组的模式必须被认为是等同的。这就给形成代数符号的记号指定了一定的性质。〃 〃那种在真实世界里没有直接对应物的概念之被引进并逐步被接受，确实迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种理想化。但是随着这种认识的深化，带来了更加意义深远的发现数学并不是关于自然的一堆真理。〃（《古今数学思想》，M·克莱因著，第4卷，第280页。）
13、数学崇拜没有根据
记者：但是，人们通常仍然持有一种观点，认为数学是科学中最严密最成熟的体系。
何新：对此可以称此为〃数学崇拜〃。但是，研究过数学史的人，会知道这种崇拜是没有多少根据的。 至少近2500年来，数学是人类智力训练和精神遗产的一个有机组成部分。然而在这漫长的年代中，关于数学的本质始终众说纷纭，对数学至今并无一个公认的定义。 在古希腊，毕达哥拉斯学派和柏拉图都注意到，演绎推理所得的结果跟观察的结果或归纳推理所得的结果往往符合。他们无法用别的方法去说明这种符合，于是就认为，数学乃是对于自然界和宇宙中内在的终极、永恒的实在的研究，而并非逻辑的一个分支或科学、技术的一种工具。他们认为对数学原理的认识，必定先于任何对经验的确切解释。毕达哥拉斯有一个名言：万物皆数；还有据传为柏拉图的箴言：上帝常以几何学家自居。 流行于中世纪的经院派观点认为宇宙是〃井然有序〃而易于理解的。在文艺复兴时代，随着柏拉图观点的再度风靡，促成了下述信念的复活：数学是以某种方式独立于且先于经验的直观的知识。这种观念表现在库萨的尼古拉、开普勒和伽利略的思想中，在某种程度上也表现在达·芬奇、莱布尼兹、康德的思想中。
14、现代数学成为虚拟的逻辑系统
记者：就是说，数学运算的结果似乎是先验性的，而非经验性的。
何新：18世纪在科学和数学问题中应用了微积分所取得的辉煌的成功，使人们把注意力首先放在运算，而不放在研究数学的基础上。但到19世纪，人们力图为新的无限小分析中的有关概念寻找一个令人满意的基础。 这种努力，带来了一种批判的态度。数学的严格性被提上了日程；人们发现，欧几里得的公设并非如康德所主张的那样是绝对的综合判断，而只不过是一些假设。这种作为推理根据的前提，可以随心所欲地自由选取唯一的要求是它们彼此之间相协调哪怕它们与感觉上显而易见的事实相矛盾。 在20世纪的数理哲学中，认为数学是量的科学或者空间与数的科学的这种旧观念，在很大程度上销声匿迹了。（但在中国学术界，这种陈旧观念仍很流行。）人们意识到，朴素的空间直观会导致矛盾。
否定牛顿的绝对时空观，也就否定了康德关于时空的所谓〃内在直观公设〃。正是由于对数学公理基础无矛盾性所作的全面逻辑和哲学审视，导致了20世纪初所说〃第三次数学危机〃。罗素在出版《数学原理》第一卷时信心勃勃，而在《数学原理》的后续一版中（1937），则陷入怀疑论，认为数学是〃我们既不知道自己在讲些什么，也不知道讲得对不对的一门科学