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地说，空间和时间的直观不是理性的直观。
人们可能会以有点类似于海廷③谈问题的方式争论说，如果布劳威尔当时知道爱因斯坦的相对时间和非欧几何是类似的，那么他也许不会发展他关于直觉主义数学的认识论和哲学的思想。在海廷看来，那将会是不幸的。
③ 见前面第1节引自海廷的引文。
然而，布劳威尔不可能对狭义相对论有非常深刻的印象。他本来可以放弃引证作为他的直觉主义前辈的康德，但是他可以坚持他自己的个人时间理论——关于我们自己内心经验和直接经验的时间理论。（见布劳威尔的著作，1949年版。）这个理论无论如何都不会受相对论的影响，哪怕康德的理论受到了相对论的影响。
因此，我们不必把布劳威尔看作是康德主义者。然而我们不可能轻易地割断他和康德的联系。因为对于布劳威尔的直觉概念和他对“直觉”一词的使用，不分析其康德哲学背景就不可能充分理解。
对康德来说，直觉是知识的来源，并且“纯粹的”直觉（“关于空间和时间的纯直觉”）是知识的永恒来源：从它产生绝对的确定性。对于理解布劳威尔来说，这是非常重要的，他显然采纳了康德的这一认识论学说。
这是一个有很长历史的学说。康德的这一思想发源于普罗提诺，圣．托马斯，笛卡儿和其他人。从原始意义上说，直觉当然指的是感觉：如果我们观察或者注视某个对象，它就是我们所看到或感觉到的东西。可是，至少从普罗提诺以来，逐步形成了直觉与推理思考的悬殊差别。直觉是上帝在一瞬间，一刹那间永恒地认识每一个事物的方式。推理思考是人类的方式：就象在一个讲演中，我们一步一步地论证一样，而那是很花时间的。
康德当时坚持的学说与笛卡儿相反，这就是我们不具有知性直觉的能力，由于这个缘故，我们的知性——我们的概念——仍然是空洞的或分析的，除非它们确实适用于由我们的感觉（感性直觉）给予我们的材料，或者除非它们是“在我们关于空间和时间的纯粹直觉中构成的概念”。①只有用这种方式我们才能获得先天的综合知识：我们的知性本质上是推理的，它一定要通过逻辑来进行，而逻辑是空洞的即“分析的”。
① 见康德著作，1778年版，第741页：“构造一个概念意味着显示出相应于这个概念的先验直觉（纯粹直觉）。”此外见第747页：“我们力求搞清理性通过概念来推理的用途与通过概念结构而直觉的用途之间究竟有多大区别。”在第751页，“概念结构”得到进一步说明：“我们可以在我们的空间和时间的先验直觉中确定我们的概念，就好象我们通过一致的综合产生自在客体一样。”（着重号部分是我加的。）
按照康德的理论，感性直觉以纯粹直觉为前提：如果没有给我们的感官的知觉提供空间和时间的框架，它们就不可能工作。因而，空间和时间先于所有的感性直觉；并且空间和时间的理论，即几何学和算术，是先天有效的。它们的先天有效性的根源在于人类纯粹直觉的能力，纯粹直觉被严格地限制在这个范围内，并且它与知性的思维公式或者推理的思维方式严格地区分开来。
康德坚持数学公理以纯粹直觉为基础的学说（康德著作，1778年版，第760页以后）；它们可以在一种非感性的“观看”或“感觉”的方式中被“看到”或“感觉到”是真的。另外，纯粹直觉渗透在几何学每一个证明的每一步中（而且一般也渗透在数学中），②为了领会一个证明，我们需要看一个（绘制的）图形。这个“看”不是感性直觉而是纯粹直觉，因为事实表明，尽管绘制得非常粗糙，该图形往往是可信的。而且事实上，一个三角形的绘制可能用一种绘制方式为我们描绘出无限可能的变化情况——一切形状和大小的三角形。
② 参见康德著作，1778年版，第741—764页。例如请看第762页末，那里谈到数学的证明（“甚至代数学的证明”）；“所有的推理……由于明白地放在我们眼前而变得可靠。”此外，例如参见第746页上端，康德在那里谈到“一连串推理”，而且“总是由直觉引导出来的”，（在同一节里，第748页，把“构造”解释为“在直觉中描述”。）
类似的考虑适用于算术，按照康德所说，算术是以计算为基础的，而计数的过程，基本上又是以时间的纯粹直觉为基础的。
于是，数学知识的起源理论在它的康德哲学形式上遇到了严重的困难。即使我们承认康德所说的一切，我们仍然感到疑惑。
对于欧几里得几何学而言，不论它是否使用纯粹直觉，它无疑使用了理性论据，使用了逻辑演绎。无可否认，数学运用推理思维。欧几里得的论述通过命题并在整本书中一步一步地推理：这并不是用一刹那间的简单直觉表述出来的。即使我们承认（为了论证起见）在单独的每一步却毫无例外地需要纯粹直觉（要我们现代人作出这个承认是很困难的），欧几里得那逐步的，推理的和逻辑的推演过程是如此清楚明白，如此著名并被（斯宾诺莎、牛顿）模仿，令人难以相信康德竟把它给忽视了。事实上，康德或许象其他人一样地了解所有这些。然而，他被迫采取这个立场，是由于（1）《批判》的结构是《先验美学》先于《先验逻辑》，（2）他截然地区分（我应该指出这是站不住脚的区分）直觉的和推理的思维。就实际情况来看，人们几乎要说，康德把推理论证排除于几何学和算术之外不仅是一个缺陷，而且是一个矛盾。
布劳威尔却证明不是这么回事，他弥补了这个缺陷。我指的是布劳威尔关于数学与语言及逻辑之间的关系的理论。
布劳威尔是通过在数学本身与它的语言表达和传达之间作出鲜明的区分来解决这个问题的。他说数学本身就是一种外在的语言活动，实质上是在我们关于时间的纯粹直觉基础上的精神构造活动。通过这样的构造，我们在我们的直觉中，在我们心中创造数学客体，而此后，在它们产生之后，我们可以试图描述它们并把它们传达给其他人。因而，语言的描述，推理论证及其逻辑是跟在基本的数学活动之后的：它们总是在数学客体如一个证明正被构造出来之后才产生。
这就解决了我们揭露的康德《批判》中存在的问题。康德哲学中初一看似乎是矛盾的东西，被一种理论以非常巧妙的方法消除了，该理论即我们必须明确地区分两个层次，一个是直觉的，精神的、对数学思维必不可少的层次，另一个是推理的，语言的，只对传达才是必不可少的层次。
象任何一个伟大的理论一样，布劳威尔的这个理论以其丰富性显示出它的价值。它一举解决了数学哲学中的三大组问题：
（1）关于数学确定性的来源，数学证据的性质和数学证明的性质的认识论问题。这些问题是分别用直觉是知识来源的学说、我们可以直觉地看到我们已构造的数学客体的学说和数学证明是相继推定即推定的推定的学说来解决的。
（2）关于数学客体的性质及其存在方式的性质的本体论问题。解决这些问题的学说有两个方面：一方面是构造主义，另一方面是心灵主义，它把一切数学客体都置于我称谓的“第二世界”中。数学客体是人类头脑的构造物，并作为构造物而单独地存在于人脑之中。它们的客观性，即它们作为客体的特性和它们存在的客观性，全在于有可能任意重复地构造它们。
因而，布劳威尔在他的就职讲演中可能意指，对直觉主义者来说，数学客体存在于人类头脑中，而对形式主义者来说，它存在于“纸上”。①
① 参见布劳威尔著作，1912年版，第3节末尾。布劳威尔在那里谈到的不是数学的存在而是“数学的精确性”的存在，并且就实际情况而言，这一节因而适用于问题（1）和（3），甚至比对本体论问题（2）还要更适应一些。但是，毫无疑问，这意味着它也适用于（2），这一节见于德雷斯顿的译文：“数学的精确性存在于哪里，对这个问题有不同的回答……直观论者回答说：存在于人类理智中。形式主义者则回答说：存在于纸上。”
（3）关于数学证明的方法论问题。
我们可能天真地区分对数学感兴趣的两种主要方式。一个数学家可能主要对定理——对数学命题的真和假——感兴趣。另一个数学家可能主要对证明感兴趣：对某种定理的证明的存在问题和该证