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称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对
于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但
是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意
义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质
量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格
真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M 当作长度
L、时间T 以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在J．J．汤
姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高隆精确符合的。所以这个假
设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系
了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1 与W，以同
样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力
所生的加速度a1与a2，是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相
对质量m1与m2可用以下的关系来确定：
m1=W1/a1及m2=W2/a2；
a1=W1/m1及a2=W2/m2。
现在我们了解，任何公式的玩弄①或任何形而上学的考虑（如经院哲学由
亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史
特维纳斯和伽刊略用落体进行实验，才证明a1＝a2，是一个事实。但是，这
一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W1W2 W1 m1
m1
=
m2
或
W2
=
m2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛
顿指出，这个结果要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按
照其所作用的质点表面的数量而起作用（机械的原因常是这样的），而是按
照物体所含的实际质量的数量起作用的”①。事实上，牛顿的天文学研究的结
果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少
它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地
重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠
落。他发现当铁球已落了50 呎而到地时，蜡球还差1 呎。他正确地解释这个
差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重
① 除非这玩弄者是爱因斯坦，而已公式中含有相对性原理。而相对性原理也是根据实验建立的。马赫在此
似乎错了；他说从他的质量的定义可以得到质量与重量的比例关系，但他暗暗地引入了a1＝a2 的结果。
①
Prlnslpia， 1713 ed。pp。483—484。
量较小的蜡球更为有效②。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上
证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根
成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以
便它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装
上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的
摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的
精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实
验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用
的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作
的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后159 来虽
有争执，但看来都是独立发明出来的①。变速观念的出现，要求有一种方法来
处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间s 来量度；
不论s 与t 的大小如何s/t，一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么
要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间
来量度在这个时间内经过的空间。当s 与t 无限地缩小，而成为无限小时，
它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做
s 对于t 的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用
来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与
时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法
来处理。x 对于y 的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx/dy 或牛顿的记法上
②。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积
分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个
质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法③。阿基米得用了类似的方
法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失
传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微
分方程式：困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答①。有一个事实
说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，
而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式②。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多
② J。M，Child，上引书。
①
L。T。More，Lsaac Newton，New york，1934，p， 565 等页。
②
每个函数的微分系数之值都可计算出来，例如设y＝x 则可得dy／dx＝nxn…1。
③ 每个微分，都有一个对应的积分；因此上面所举的微分例中xn 即是对应的积分。可以证明：。 除非n 是
…1，那时积分是logx＋c。在每一例里，c 都是一个未知的常数。它在许多实际问题中，都是可以消去的。
①
举一个简单的例，方程式ydx＋xdy＝o 可以改写为于是可以分项积分，便得
②
Letter tO Flamsteed． Calalogue of the Newton MSS， Cambrige， 1888。P·xlll．
结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在
莱布尼茨和别尔努利（BernouiIli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数
学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提
出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经
叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置
表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上
价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多
的改进。
物理光学与光的理论
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物③。光的
折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在1621 年所发
现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666 年牛顿得到“一
个三梭镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的
第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学， 1672 年发表在《皇家学
会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆（De la Pryme）在他的日记中说：1692
年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，
二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这件
事。他说：“1675 年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论
文，。。其余则是大约十二年后加入的。”
1611 年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯（Antonio de
Domininis）提出一种虹霓的理论。他说山水滴内层表面反射161 出来的光，
因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出