按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
明用希尔伯特“元数学”证明算术公理的相容性是行不通的。尽管如此，希
尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它带动了20世纪有关数学基础的研
究。
希尔伯特对20世纪数学发展影响最大的工作，乃是他在本世纪初发表的
关于23个数学问题的讲话。
（2）希尔伯特提出的23个数学问题
1900年，关于物理和数学有两个著名的讲话。
一个是19世纪物理学界的元老威廉·汤姆逊（1824—1907），即开尔文
勋爵于1900年4月27日在英国皇家学会上发表的《热和光的动力理论上空
的19世纪乌云》的演讲。这个演讲的主要基调是，充分肯定19世纪物理学
的成就，认为物理学大厦已经建成，余下的只是修修补补的事情了。这个讲
话之所以著名，原因有两点。原因之一是研究科学技术史的人们经常引用此
演讲作为科学保守派的例子，因为，就在此讲话发表之后不久，以相对论和
量子力学为标志的物理学革命便完全改变了物理学的面貌；原因之二是开尔
文勋爵能眼光锐利地指出了物理学“万里晴空”中还漂浮着的“两朵乌云”：
一是与比热和热辐射有关的理论问题，另一则是麦克尔逊—莫雷实验的“零
结果”。但他未能预料这“两朵乌云”正是即将来临的物理学革命风暴的前
兆。
另一著名演讲则是1900年8月8日，德国著名数学大师希尔伯特在巴黎
召开的国际数学家大会上，发表的“数学问题”的演说。1897年，在瑞士的
苏黎士召开的第一次国际数学家会议决定，1900年在巴黎召开第二次国际数
学家会议。1899年，希尔伯特接到了会议筹备机构的邀请，要他在会上作主
要发言。
为了准备一个与世纪交替之际相称的发言，希尔伯特前后用了8个月的
… Page 82…
时间，就当时数学研究的最前沿的问题进行了仔细的准备，并与闵科夫斯基、
赫尔维茨一起商量，向大会提出23个当时尚未解决的数学问题。这些问题从
最一般的基础问题开始，以变分法和数理方程等接近实用的学科中的问题结
束，涉及数学的各个具体分支。
和世纪之交的“物理学演讲”不同，希尔伯特提出的23个问题，列出在
新世纪里数学家应当努力攻克的目标，为新世纪中的数学发展揭开了充满挑
战性的、光辉的一页。这些问题在相当程度上左右和导引了20世纪数学的发
展和研究方向。
后来被称为希尔伯特问题的23个问题，引起了数学界人士的广泛注意。
20世纪最著名的数学家几乎都为解决希尔伯特问题作出过贡献。
1975年，交流、总结希尔伯特问题研究进展的国际会议，在/TITLE》美
国伊里诺斯大学召开，大会论文汇编成《由希尔伯特问题引起的数学发展》
一书。1936年至1974年，获菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）的20人中，有
12人的工作与希尔伯特问题有关。以下列出希尔伯特23个数学问题，以及
有关的进展情况。
①康托的连续统基数问题。集合论的创立人康托于1878年/TITLE》作出
的“在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数”的猜测，即著名的连续
统假设。1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔（1906—1976）证明了连
续统假设和集合论的ZF公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩证
明连续统假设和ZF公理系统是彼此独立的。因此，连续统假设的对错不能在
ZF公理系统内判明。希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决。
②算术公理的相容性。1931年，哥德尔的“不完备性定理”指出用希尔
伯特“元数学”证明算术公理的相容性是不可能的。1936年，根茨（1909—
1945）在使用超限归纳法的条件下，证明了算术公理的相容性。
③两个等底等高四面体的体积相等的问题。1900年，即问题提出的当
年，希尔伯特的学生德恩对此问题给予了肯定解答。
④直线作为两点间最短距离的问题。希尔伯特之后，在构造与探讨各种
特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。1973年，苏联数学家波格
列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
⑤一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的。这
一问题亦简称连续群的解析性。中间经过了冯·诺依曼（1933年对紧群情
形）、邦德里雅金（1939年对变换群情形）和歇瓦来（1941年对可解群情形）
的努力。1952年，由格利森、蒙哥马利和齐宾共同解决，得到了完全肯定的
结果。
⑥物理学的公理化。希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物
理，首先是概率论和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—）实
现了概率论公理化。后来在量子力学、量子场论等方面，公理化方法的努力
也取得了很大成功。但许多人对物理学能否全盘公理化的问题表示怀疑。
⑦某些数的物理性和超越性。1934年和1935年，苏联数学家盖尔封特
和德国数学家施奈德各自独立地解决了这一问题的后半部分。
⑧素数问题。素数是一个古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（1826
—1866）猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想是黎曼于1859年的论文《在给定大小之下的素数个数》中作出
的，至今未能解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题的最佳结果均属于中国数
… Page 83…
学家陈景润。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（1690—1764）于1742年提出的关
于“大偶数可表为两个素数之和”的猜想。这一猜想被简称为“1＋1”。许多
数学家为解决这一猜想作出了努力，但直到本世纪20年代才有所进展。
1920年左右，挪威数学家希朗改进了古老的筛法，首先证明出了“9＋9”，
即“大偶数可表为两个素因子不超过9个的数”。接着，从1924年到1956
年，陆续证明出了“7＋7”，“6＋6”，“5＋5”，“4＋4”，“3＋3”。中国数
学家王元于1958年证明出了“2＋3”。
1948年，匈牙利数学家兰尼恩从另一角度出发，证明了“1＋6”；1962
年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”；同年，王元、潘承洞等证明了“1＋4”；
1965年，意大利数学家庞皮爱黎等证明了“1＋3”。
1966年，年仅33岁的中国青年数学家陈景润证明了“大偶数可表为一
个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，即“1＋2”，并于1973年发表
了详细的论证。英国数学家哈勃斯和德国数学家理查德在伦敦出版的 《筛
法》，将陈景润的证明增为“陈氏定理”，并赞扬其为“构成筛法理论的光
辉顶点”。这一突破性进展，离最后的结果“1＋1”，还有一步之遥。数学界
认为，要彻底解决哥德巴赫猜想，现在的方法已经用尽，必须在方法上有所
突破和创新。
⑨任意数领域中最一般的互反率的证明。该问题已分别由
日本数学家高木贞治（1875—1960）于1921年和奥地利数学家阿廷（1898
—1962）于1927年解决。
⑩丢番图方程可解性的判别。求出一个整数系数方程的整数根，称为丢
番图 （古希腊数学家，约210～290）方程可解。希尔伯特问，是否能用一种
有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1950年前后，美国数
学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破，1970年，苏联的马季亚谢
维奇最终证明，第10问题的答案是否定的。尽管如此，该问题的探索过程产
生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）系数为任意代数数的二次型。德国人哈塞、西格尔和法国的魏依在
此问题上均取得重要结果。
（12）阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域。该问题尚未
解决。
（13）不可能用只有两个变数的函数解一般七次方程。1957年，苏联数学
家阿诺�