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摩笈多。他提出了负数的四种运算，并且指出正数的平方根有两个，一正一
负。他也提到负数的平方根的问题，但他说负数没有平方根，因为负数不能
是平方数。
印度人在算术上正视了无理数问题，开始按正确的方法来运算这些数。
婆什迦罗给出了两个无理数相加的法则：“较大的无理数除以较小的，所得
之商开方，再加 1，和数取平方，然后乘以较小的无理数，其根即为两无理
数之和。”举例来说，就是
12
3
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但是已经使印度代数初具符号代数的性质。
印度人找到了二次方程的一般解法，这也是一项很重要的工作。他们把
二次方程归结为
2
ax＋bx=c
某些系数可以是负数。波罗摩笈多给出的求根法则是：“把常数项放在
未知数的平方项和一次项的另外一边，将常数项乘以平方项＇的系数＇的四
倍，加上一次项＇的系数＇的平方，所得的结果的平方根减去一次项＇的系数＇，
再除以平方项＇的系数＇的二倍，就是一次项的值。”用现代数学符号表示就
是：
4ac
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2。阿拉伯数学
这里所说的阿拉伯数学，主要是因为这些著作的文字是阿拉伯文它们实
际是阿拉伯帝国统治下的各民族学者，包括波斯人、花拉子模人、阿拉伯人、
希腊人、犹太人等共同创造的。
阿拉伯人的数学来自希腊手稿以及叙利亚与希伯来译本。从8世纪到9
世纪中叶，阿拉伯学者大量翻译了希腊著作的手抄本和东罗马的原稿，使大
量的古代科学遗产获得了新生。被翻译的古典著作中有欧几里得、阿基米德、
阿波罗尼、梅内劳斯、赫伦、托勒密和丢番图等著名学者的数学著作，还有
印度数学家波罗摩笈多的著作。当古希腊的原著失传后，这些阿拉伯译本就
成为欧洲人了解古希腊数学的主要来源。
经过大量的翻译工作，阿拉伯人进入了吸收和创造时期。从9世纪到14
世纪，先后出现了大批著名数学家：阿尔·花拉子模（约780—850）、阿尔·巴
塔尼 （约858—929）、阿布尔·瓦发（940—998）、阿尔·毕鲁尼（973—
1050）、莪默·伽亚谟（1048—1131）、纳述·拉丁（1201—1274）以及阿
尔·卡西（？—1429或1436）等。他们在吸收希腊、印度数学的基础上，创
造了阿拉伯数学，为数学的发展作出了卓越贡献。
阿拉伯原来只有数词，没有数字。在征服埃及、叙利亚等国后，阿拉伯
人使用希腊字母记数法。公元8世纪，印度学者把天文学名著《历数书》传
入阿拔斯王朝阿尔曼苏的宫庭中，从此印度数字传入阿拉伯国家。这些数字
经过改造，再通过阿尔·花拉子模的著作传入欧洲，所以欧洲人称之为“阿
拉伯数字”。
阿尔·花拉子模（约780—850）是阿拉伯数学史初期最重要的代表人物
之一。他曾经摘录了印度学者的天文表，编辑了阿拉伯最古老的天文表，校
对了托勒密的天文表，他还编著了有关阿拉伯国家算术和代数的最早书籍。
这些著作对阿拉伯数学的发展有着重要的影响。
在代数方面，阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。西文
“algebra”（代数）这个词来源于阿尔·花拉子模的数学著作《Al—jabr’ W
al muqabala》。Al’muqabala的意思是化简，Al—jabr这个字以后又有“接
骨者”的意思。当阿尔·花拉子模的书在 12世纪译成拉丁文时，书名译为
《Ludus algebrate etalmucgra》。从此，这门学科就简称为balaeque
algebra（代数）。
阿拉伯人还提出了二次方程的一般解法。阿尔·花拉子模所论述的二次
方程可举一例如下：“根的平方和十个根等于三十九”。他给出的解法是：
“取根数目的一半，在这里就是五，然后让它自乘得结果为二十五，把这同
三十九相加得六十四，开平方得八，再减掉根数的一半就是说减掉五，余三，
这就是根。”解法正好就是配方所该做的步骤。
阿拉伯人提出了三次方程的几何解法。波斯诗人、数学家莪默·伽亚谟
3
以x＋Bx=C（B和C都是正数）说明他的方法。
3 2 2 2 2
伽亚谟把方程写成x＋bx=bC这里b=B；bc=C。然后他作一个正焦弦为b
的抛物线，接着在长度为C的直径QR上作半圆。于是抛物线与半圆的交点P
就定出垂线PS，而QS便是三次方程的解。用圆锥曲线相交来解三次方程是
阿拉伯人在代数发展史上迈出的一大步，也是中世纪数学的最大成就之一。
阿拉伯人在几何学方面没有取得很多进展，但是阿拉伯人收藏了欧洲早
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已失传的古希腊数学手稿，欧几里德、阿基米德和赫伦的作品均被翻译成阿
拉伯文。阿拉伯人还对欧几里德的《原本》作过评注。因此阿拉伯几何的贡
献主要是起了冷藏库的作用。
阿拉伯三角学的产生与发展与阿拉伯天文学的发展有密切关系。阿拉伯
天文学家阿布尔·瓦发引入了正切和余切概念。他把所有的三角函数线都定
义在同一个圆上，正切、余切作为圆的切线段被引入。他还在一本天文著作
中引入了正割与余割概念。另一个天文学家阿尔·巴塔尼给出了平面三角形
的正弦定律，他还予以证明。
阿拉伯三角学的系统化是由纳述·拉丁完成的。他在一本数学著作《论
四边形》中给出了解球面直角三角形的六个基本公式，并指出如何用现今所
谓的“极三角形”来解更一般的三角形。由于这本书非常地完整建立了三角
学的系统，而且使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，因此它在三角
学史上具有特别重要的地位，对三角学在欧洲的发展起了决定性的作用。
阿拉伯的数学著作风格独具特色。在大量的数学书籍中都选用生动有
趣、丰富多彩的例题与习题，这是东方数学特有的风格。而且许多数学著作
十分注意证明的论据、材料的系统安排，叙述完备、清晰，这也是可取的。
阿拉伯数学成就在公元1000年左右达到顶峰，从1100年到1300年间，
基督教十字军的东征沉重打击了阿拉伯人。其后蒙古人、鞑靼人的入侵把阿
拉伯文明摧毁殆尽，阿拉伯的数学活动遂告一终结。此后，阿拉伯的数学成
就传入欧洲，为欧洲数学的崛起奠定了基础。因此，阿拉伯数学在世界数学
史上起着承前启后、继往开来的作用，是数学发展过程中的重要环节。
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3。欧洲数学
中世期初期，大约从公元400年到1100年长达700年之久的时间里，欧
洲数学一直没有取得进展，也没有人认真搞数学工作。
数学水平之所以低，主要是因为对物理世界缺乏兴趣。数学史家克莱因
认为：“数学显然不能在一个只重世务或只信天国的文明中繁荣滋长。我们
可以看到，数学在一个自由的学术气氛中最能获得成功。那里既能对物理世
界所提出的问题发生兴趣，又有人愿意从抽象方面去思考由这些问题所引起
的概念，而不计其是否能谋取眼前的或实际的利益。自然界是产生概念的温
床，然后必须对概念本身进行研究。然后，反过来，能对自然获得新的观点，
对它有更丰富、更广泛、更强有力的理解，而这又产生出更深刻的数学工作。”
当时在欧洲占统治地位的基督教规定了它的目标、价值和生活方式。教
徒们主要关心的是精神生活，因而认为出于好奇心或实用目的而探索自然的
工作是微不足道的。欧洲人认为所有的知识都来源于研读《圣经》，教会神
甫的教导和教条是《圣经》的补充发挥和解释