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在于事实上只有游戏可以允许某一类的举动，而数学上一旦引入一条错误命题就会马上得出“零等于一”这样的命题。因此必定有方法可以把数学对策加以推广，使得可以犯一些错误但不会得出绝对的胡说，而只是得到一个更广的系统。
霍金斯和我考虑过如下的有关问题，这是由“20个问题”变化来的一个对策：一个人想好一个1和1 00（这个数正好是小于22的）之间的数，另一个人可以问最多20个问题，对每个问题第一个人只回答是或不是。很明显可以这样来猜到那个想好的数，即先问：这个数是在1 00的前一半里吗？然后下个问题再用“一半”来缩小数的范围，这样问下去，最后在1092（1 00）次之内就能猜到这个数。现在假定答者可以说一到二次谎，这样要问几次才能得到正确答案？显然需要问n次以上才能在2n个数里猜中一个，因为不知道什么时候说谎。这个问题没有得到一般的解决。
数学观念和灵感有二个主要的来源——一方面，由外部现实即物质世界的影响而引起；另一方面，由人的生理或许基本上是脑的生理发展过程而引起。从一个不太明显和比较特殊的意义上说，这一点在今天和不久以后的计算机运用上已经和将会继续得到反映，有一个同态象。
即使最唯心的认为数学纯粹是人心的创造的观点也须得符合这样的事实：即几何定义和公理——实际上大多数数学概念都是如此——的选择是由外界刺激和对在“外部世界”里进行的观察实验的内省，通过我们的意识获得的印象的结果。例如，概率论就是由有关机会的游戏中的一些问题发展而来的。今天，有许多计算机是专为解决特定数学问题而设计的，靠它们就有希望大为广泛地进行思想实验，将经验理想化，并概括出更为抽象的思维模式。
几年前在普林斯顿，庆祝冯·诺伊曼计算机建成25周年大会上，我在讲话时忽然心血来潮，默默地估算起每年数学杂志上有多少定理发表（指那些标明为“定理”的、发表在公认的数学杂志上的命题）。我很快地心算着，连自己也奇怪竟能在谈着完全不相干的事的同时，算出每年约有十万个定理。我马上转过话题，把这说了出来，听众不禁倒吸了一口冷气。读者可能会感兴趣的是，听众中有两个青年数学家第二天跑来跟我说，由于被这极大的数字所震动，他们在院图书馆作了一次系统详细的调查，将杂志种数乘以一年的期数，再乘上每期的页数和平均每页上的定理数，估计下来一年有近二十万条定理。这样一个巨大的数字无疑值得好好思考。人们如果承认数学的意义应该比游戏和智力测验大些，那么这就是一件令人担忧的事情了。危险显然在于数学本身将遭到割裂，分成互不相关的不同科学或许多联系松散的独立学科。我本人希望不要发生这种情况，因为如果定理多到让人无法概观，那么谁能来判断什么是“重要”的呢？这也是个保存资料、存储和检索科学成果的问题。而这现在成了个首要问题，没有人机对话，就无法找出最需要的东西。
要始终跟得上当代的成果，即使仅仅是那些突出的引人注意的成果，实际上也是不可能的。那种认为数学将作为一门统一的科学存在下去的观点与此怎么一致得起来呢？正像一个人不可能见过所有的美女或所有优美的艺术作品而最后只娶了一个美人一样，可以说在数学上一个人是和他自己的小领域结婚的。正因为这样，数学研究的价值评判越来越困难，我们大多数人基本上成了技术师。年轻科学家所研究的数学客体的种类正指数倍地增长，也许，人们不应该把这种现象称之为对思维的亵渎，不过它到有点像大自然造就了无数种不同的昆虫那样，使得世界丰富多彩。但是，多少总让人感到，这同我们对于科学的本质观念，即要去理解、缩写、概括、尤其是发展关于理智和自然现象的记号系统这一点有点背道而驰。
在科学发展上，只有那些出乎意料的东西、真正的新思想新概念对于年轻心灵的震动，才会不可逆转地铸就一个人才。直到成年或老年，甚至已不大敏感或精疲力竭时，那意外的东西造成的好奇还会引起新的兴奋。用爱因斯坦的话说：“我们能体验到的最美的东西就是那神妙莫测的，这是所有真正的艺术和科学的源泉。”
数学产生出概念，它们将自己独立地生存发展。数学就这样创造了新思维对象——可以叫做超现实。它们一旦诞生，就不再是哪个个人所能控制的，只有一类头脑，既永恒交替的数学家群体才能驾驭它们。
数学上的天才和智者很难定量地确定。我似乎觉得从碌碌之辈直到高斯、彭加勒和希尔伯特那样最高层次的人的过渡是几乎连续的。很大程度上不仅仅取决于脑。肯定有我所称的“内分泌因素”（由于找不到更合适的词）或品格特征：坚韧性、体魄，工作的意愿，有些人叫做“激情”的东西。这些在很大程度上取决于多半是儿童或少年时代造成的习惯，这里早期的偶然影响起很大作用。毫无疑问，那称为想象力和直觉的特质基本上由脑的生理结构特性决定，但通过经验导致一定的思考习惯和思考过程的方向后，脑的生理结构也是可以得到部分改善的。
是否愿意投身于未知和不熟悉的问题是因人而异的。数学家有截然不同的类型——一类喜欢进击现有的问题或者在现成的基础上进行再建，另一类喜欢摸索新模式新路子。第一种人可能占大多数，约在80％以上。年轻人想要成名就往往去攻一个前人已搞过但未解决的问题，这样，要是他运气好并且能力也行，那就会像个运动员那样打破纪录，跳得比哪个前人都高。虽然通常有较大价值的是形成新的概念，但年轻人即使懂得其重要性和美学价值也往往不愿作此努力，因为不知道这新思想会不会被赏识。
我是那种不愿作改进和雕凿而喜欢开创新东西的。开创的基始越简单越“低”我越喜欢。我不记得用过什么复杂的定理去证明更复杂的定理（当然，这都是相对而言的，“太阳底下没有新东西”——一切都可以溯源至阿基米德甚至更早）。
我还相信一生中改换工作领域能够恢复活力。在一个小领域或狭范围的问题上搞得太久就会固步自封，阻碍获得新观点，使人变得迂腐。不幸的是，这种不利于数学创造性的情况并不少。
除了其壮观的前景、美学价值和对新现实的想象力以外，数学还有一种不太明显或者说不太有益的特性即能使人上瘾。这或许类似一些化学麻醉品的作用。哪怕最小的游戏题，一下子就看得出是肤浅或老一套的，也会有这种诱惑力，只要开始去解它就会被吸引住。我记得《数学月刊》有一次偶然刊登了一位法国几何学家送去的，关于在平面上排列圆、直线和三角形的极平常的问题，正像德国人所说的是“次要的”。不过一旦开始去想怎么解法，这些图形就可能吸引住你，即使你始终明白答案是不会导致什么令人激动或较有普遍性的问题的。这很可以同我提到过的费马定理的情况对照一下，费马定理是导致创造了大批代数新概念的。二者的区别或许在于一般问题经过一定程度的努力后总是能解决的，而费马问题却仍未解决，一直保持着诱惑力。不过这两种类型的数学好奇心都能让数学爱好者上瘾，因为想当数学家的人有分别感兴趣于普通枝节和最有感染的问题的。
在科学家工作习惯的其他方面，变化是比较慢的。今天科学象牙塔里的生活方式的特点是科学会议更多，参与政府工作更多。
不过像写信这样既简单又要紧的事情上也有很大变化。这在过去往往是一种艺术，不仅仅属于文学界的艺术。数学家写起信来是很长的，他们用普通手写体详细地交流数学思想，也谈私人琐事。而今由于秘书代劳的便利，反倒使那种私人间的交流成了难事，并且由于专业细节难于口授，一般说来科学家尤其是数学家之间通信少了。我保存着所有相识的科学家来过的信，前后时间跨度40多年，从这些信里可以看出一个逐渐发生，并在战后加速了的变化过程，即从长的、私人交往式的、手写的信件日益变为公务式的、枯燥乏味的、打字的条子了。在我近年的通信往来中，只有两个人写信还是用普通手写体：乔治·加莫夫和保罗·厄多斯。
诺贝尔奖获得者�