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何学，非不信教的朋友》这一公开的批驳信，首先对贝克莱的公开信进行反
击。朱允认为，对于精通几何学的人来说，流数的概念是清楚的，并按照他
的理解对牛顿的流数作了解释。对此，贝克莱在1735年发表了题为《捍卫数
学中的自由思想》一文，予以反击，为此，朱允又另著文反驳。
1735年，英国另一数学家罗宾斯（1707—1751年）也参加了论战，他发
表了几篇论文，并出版了《论牛顿的流数法以及最初比与最终比方法的本质
与可靠性》的专著，试图对牛顿的流数进行数学解释，批驳贝克莱对流数的
神学解释。
此后，英国另一著名数学家马克劳林（1698—1746年）也参加了反击贝
克莱的论战。1742年，马克劳林出版《流数论》一书。在这一著作中，马克
劳林除了驳斥贝克莱对微积分的攻击外，还试图建立起微积分的严密的数学
理论基础。
但由于当时历史条件的限制，直到19世纪初法国著名数学家柯西的极限
理论建立前，微积分在数学理论方面所发生的危机一直未能从根本上结束。
但第二次数学危机的发生，使人们认识到微积分本身还不够完善。这样，微
积分就开始了试图克服自身危机的革命。此后，经过近一个世纪的几代人的
相继努力，微积分终于在19世纪初建立起了严密的数学理论基础。
2。数学家族
（1）数学家族的第一代兄弟
17世纪80年代末和90年代初，当牛顿和莱布尼茨为微积分发明的居先
权发生争议时，在大陆数学家中有两个兄弟站出来热烈地为莱布尼茨辩护，
① ＇英＇斯科特：《数学史》，商务印书馆1981年版，第217页。
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这就是贝努利数学家族的第一代贝努利兄弟：雅克·贝努利（1654—1705年）
和约翰·贝努利 （1667—1748），人们通常称他们为老贝努利兄弟。
贝努利兄弟生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，他们都曾有过一段自学数
学的经历。
雅克曾根据他父亲的意愿，最初在巴塞尔大学学神学，因为他的父亲希
望他将来能成为一个牧师。可是，雅克在法国、德国和荷兰等国进行广泛的
旅行后，由于受到所结识的一些数学家的影响，对数学产生了兴趣。从1670
年以后，雅克即开始自学数学。当时，微积分尚未发表，雅克找来一些数学
著作，开始研究人们当时极为关注的求曲线的切线等数学问题。在研究中，
他主要研究了笛卡尔的《几何》、华里斯的《无穷算术》、巴罗的《几何讲
义》等著作。雅克也几乎走到了独立地发明微积分的边缘。正在这时，莱布
尼茨的微积分成果相继发表，雅克对莱克尼茨极为敬佩，他前往德国，与莱
布尼茨进行短期合作。1686年返回巴塞尔当上了巴塞尔大学的数学教授。
雅克的弟弟约翰，他的父亲最初曾想让他去经商，而他本人却想去学医。
但此后不久，在哥哥的影响下，他也开始自学数学。从1695年起，约翰因其
在数学上初露才华，被聘为荷兰格罗宁根大学的数学教授。1705年，其兄不
幸去世，约翰应聘返回瑞士，接替了他哥哥在巴塞尔大学的数学教授职位。
（2）变分法与概率论基础的奠定
雅克·贝努利对于当时数学的贡献，主要在于奠定了变分法与概率论的
基础。
变分法所涉及的一些基本数学问题，即求极值的问题，可以追溯到古希
腊数学发展时期。那时，阿基米德就曾证明，在给定的周长之间，所围成的
各种几何图形的面积，以圆形的面积为最大。在古代，极值问题不仅为一些
著名数学家所关注，而且流行在一些民间的传说中。在迦太基传说中，就有
一则求极值的数学故事：有人给戴多皇后一张牛皮，要她用这张牛皮围出尽
①
可能大的面积。戴多皇后把牛皮割成长条，然后用长条围出一个半圆 。这说
明，求极值问题远在古代已经引起了人们的关注。
进入17世纪后，由于力学和数学的发展，类似的数学问题又重被人们提
出，在伽利略和莱布尼茨的有关著作中，都曾出现过类似的数学问题。
1696年，约翰向他的哥哥提出了6个数学难题，这些数学难题都不是用
当时的数学方法能一下子解决得了的。其中有一个问题是这样的：在给定的
一根水平轴上画出的所有半椭圆中，怎样才能求一个半椭圆，使物体沿着它
的凹面下滑时，所需要的时间最短。这一问题实际上就是求最速降线问题。
用通常的数学术语来说，也就是求曲线，它能使最初为零的质点在重力作用
下从起点沿曲线降到终点时，所需时间最短。
对于约翰提出的最速降线问题，雅克一时无法作出回答。此后经过三年
多的努力，他终于从微积分中引出一种新方法，即是在求极值方法的基础上，
运用积分方法求出某一积分的极值。1697年12月，约翰在《博物杂志》上
发表了他向雅克提出的数学问题。1700年，作为对约翰提出的问题的解答，
雅克在 《博物者学报》上发表了一篇著名的论文：《等周问题实解》。在文
中，雅克除了讨论最速降线问题之外，还讨论了涉及到求极值的另一个重要
① ＇英＇斯科特：《数学史》，商务印书馆1981年版，第249页。
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问题：等周问题，即在一切具有定长的平面闭曲线中，求出一条围成的面积
最大的曲线。无论是等周问题，还是最速降线问题，都是微积分中求极值方
法的运用和发展。文中还讨论了求极值方法的一般原理与普遍方法。这样，
雅克就以微积分中的求极值方法这一基本数学问题为生长点，在微积分中开
辟了变分法这一新的数学分支。
由于变分法的建立，不但推动了微积分本身的发展，而且初步奠定了力
学和物理学中变分原理的数学基础。这样，雅克就把微积分从纯粹数学与应
用数学两方面向前推进了一步。
雅克除了奠定变分法的基础之外，在微积分的早期发展中，也曾取得一
些类似于莱布尼茨的重要成果。1694年，雅克出版了《微分学方法，论反切
线》这一重要论著。在书中，雅克对微积分的基本原理和方法进行了比较系
统的研究，特别是推进了常微分方程与积分法的研究。这一著作在微积分的
早期发展中产生过重要影响，并被一些数学史家誉为微积分的奠基作之一。
雅克对近代数学发展的另一个重要贡献，是进一步奠定了概率论的基
础。
在雅克之前，概率论已有最初的萌芽。荷兰科学家惠更斯1657年发表的
《论机会游戏的演算》，可以算是近代数学史上最早的概率论著作。
雅克在1685—1690年间对概率论进行了研究。1685年，他在《博物杂
志》上发表的一些论文中，重新提出了惠更斯在《论机会游戏的演算》中提
出过的一些概率论问题：若甲乙两人在赌博游戏中同掷一颗骰子，先掷出是
么点的为胜。甲乙两人开始各掷一次，然后各掷两次，接着各掷三次，依此
继续下去，两人获胜的概率各有多少；或者，甲先掷一次，乙接着掷二次，
甲掷三次，乙接着掷四次，两人获胜的概率又各有多少。通过提出这些问题，
雅克开始了对概率论的研究。
1690年，雅克完成了赌博游戏中胜负概率的计算方法的研究，找到了以
排列组合为基础的一种普遍的数学方法。运用这一方法，可以确定某一事件
的概率范围，即使某个在多种机率中出现的事件概率无限地趋向这个已经确
定的概率。这样，雅克就找到了一种处理随机现象的数学方法。自此之后，
概率论也就从惠更斯所最初提出的一些基�