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算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了
继续研究笛卡尔、费尔玛等人的数学著作之外，他还研究了英国著名数学家
华里斯及巴罗等人的数学著作，特别是巴罗的《几何讲义》，对莱布尼茨的
影响最大。通过上述研究，他开始认识到求曲线的切线问题的重要性。这样，
莱布尼茨也就在英国产生了微积分思想的最初萌芽。
②微积分的发明。不久以后，莱布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命为
汉诺威选帝侯图书顾问而被召回德国。
在巴黎期间，莱布尼茨继续研究笛卡尔的解析几何，从中吸取了笛卡尔
在《几何》中所用的求曲线的切线方法。同时，莱布尼茨还继续研究巴罗的
《几何讲义》，从中吸取了巴罗的微分三角形法，并从巴罗的著作中意识到
微分与积分的互逆性质。与此同时，他还通过欧登堡继续了解英国数学方面
的最新进展，根据莱布尼茨的自述，经过一年多的努力，他在1674年发明了
微积分的基本原理和主要方法。
莱布尼茨发明微积分的起点，是求曲线的切线作法及其计算问题。在研
究过程中，莱布尼茨从巴罗在解决这一问题时所用的微分三角形法中得到启
发，创立了他自己的一种新方法——纵坐标差分法。莱布尼茨所创立的这种
新方法的基本特点，按照他自己的说法，乃是把曲线及其切线置于笛卡尔坐
标系中，求切线的问题即可相应地转变成求横坐标与纵坐标变化率之差。
在创立纵坐标差分法之后，莱布尼茨又相继在原理和方法上作了一些新
的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，莱布尼茨已决定用∫作为求和
的符号；11月11日，他又在一篇题为《切线的反方法的例子》的手稿中，
进一步对微分和积分的符号进行了探讨。此后，他又在一些数学手稿中证明
了微分和积分的互逆性，导出了微分法和积分法的一些基本原则。尽管在无
穷小量这一概念上他与牛顿一样含糊不清，但最迟在1676年，莱布尼茨已基
本上完成了微积分的发明。
当时，英国科学家牛顿也在研究微积分。因此莱布尼茨作为外交使节出
使英国期间，曾通过欧登堡与牛顿有过通信往来。后来，当莱布尼茨返回巴
黎留任驻法大使时，以及返回德国任汉诺威图书顾问以后，莱布尼茨仍然通
过欧登堡与牛顿保持着一定的联系。1676年，莱布尼茨在与欧登堡的通信
中，得知牛顿的微积分研究已有显著的进展时，因此，他要求欧登堡告诉他
有关这方面的消息，欧登堡把莱布尼茨的愿望转给牛顿，牛顿即于1676年6
月13日，写了一份关于他的流数法的简要说明，请欧登堡转寄给莱布尼茨。
同年8月27日，莱布尼茨收到了欧登堡的信及附寄来的牛顿的关于流数法的
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简要说明。此后，莱布尼茨直接致信牛顿，向牛顿简述了他自己在微积分方
面取得的成果，并要求牛顿能就他的无穷级数的处理方法作进一步说明。同
年10月24日，牛顿给莱布尼茨回信，就他的流数法作了较为详尽的说明，
此时牛顿估计莱布尼茨也有可能发明了微积分，因此他在回信中写入了一个
著名的字谜（以字谜的方式表示自己已作出某一发现或发明的方法起于17
世纪初，在1610年，伽利略发现金星的位相之后，他意识到这是证实哥白尼
日心说的重要发现，但他也认识到，完全弄清金星的位相变化还需要时间，
因此他先发表了一个由35个字母组成的字谜，表示他已经发现了金星的位
相。此后，这种以字谜暗示已作出某一发现和发明的方法即流传于17世纪）。
牛顿给莱布尼茨回信中的字谜是：
6accd aeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx
字谜就是由这些字母和数字组成的一个不规则的句子。这个字谜的谜底是：
根据所给的方程式，在任意多变数方程求出流数及其逆运算。牛顿所以给莱
布尼茨寄去这个字谜，实际上是向莱布尼茨暗示，他已经发明了微积分。
莱布尼茨收到牛顿的回信之后，研究了牛顿对于流数法的说明，也研究
了牛顿的字谜。当然，莱布尼茨未能解开牛顿的字谜，但莱布尼茨也估计到，
这是牛顿表明他已经发明了微积分的隐语。因此，他在1677年6月21日给
牛顿回信时，也向牛顿坦率地介绍了他发明微积分的纵坐标差分法：“我长
期在用一种更普遍得多的方法来处理切线问题，这就是纵坐标差分法。”并
认为：“求切线无非就是求相应于已知的（相等的）横坐标之差的纵坐标差。”
此后，他们两人各自致力于数学和其他学科的研究，谁也没有公开发表
有关微积分的研究成果。直到1684年，即他们彼此都知道对方已经发现了微
积分的7年之后，莱布尼茨在德国的《博物者学报》发表了一篇关于他的微
积分方法的简要介绍。因为这篇简介实际上只是一篇介绍报道性的文章，因
此在当时并未引起人们的注意。
1686年，莱布尼茨在《博物者学报》上发表了一篇有关微积分的内容比
较具体的论文：《求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的
情形以及这个方法的一个巧妙的计算》。在这篇论文中，莱布尼茨公开发表
了微积分的基本原理和主要方法。
在发表上述论文之前，莱布尼茨已于1675年10月29日的数学手稿中创
用积分符号∫。∫是 sam（总和）一词的第一个字母的拉长写法。此后，莱
布尼茨在1684年发表的那篇简介中创用了微分符号d。在1686年发表的这
篇论文中莱布尼茨首次同时使用了dx，dy，∫x，∫y这样的微分符号和积分
符号。其中dx表示两个相邻的x之间的差，dy表示两个相邻的y之间的差，
而∫x与∫y则相反。
莱布尼茨在1686年发表的这篇论文的标题虽然很长，但篇幅却很短，只
有6页。但由于其内容新颖，方法新奇，符号新巧，因此，立即引起欧洲数
学界的极大关注，而莱布尼茨亦因此先于牛顿成为人们知晓的微积分这一新
①
数学方法的发明者 。
③微积分发明的居先权之争。由于莱布尼茨先于牛顿发表了微积分，而
牛顿又先于莱布尼茨发明了微积分，加上他们之间又有过直接和间接的交
往，因此，正当胡克为万有引力的发现居先权与牛顿发生争执时，由于莱布
① 参阅＇英＇J·K。斯科特《数学史》，商务印书馆1981年版。
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尼茨论文的发表，一场关于微积分的发明居先权之争，几乎同时爆发了。
在争议中，牛顿和莱布尼茨各自说明了自己发明微积分的时间、过程和
方法。牛顿说，他早在1665年11月就发明了微分，1666年5月又发明了积
分。莱布尼茨说，他是在1674年发明微积分的，他的微积分是他独立发明的。
对于微积分发明的居先权之争，两个当事人似乎表现得相当克制。牛顿
在1687年谈到这场争议时说：“大约在十年前，在和非常博学的数学家莱布
尼茨的通信中，我告诉他，我发明了一种可以求出极大值和极小值，划出切
线并解答类似的数学问题的方法。这种方法运用到无理数上和应用到有理数
上同样行之有效。当我谈到这一点时 （假定已知一个任意多的变数方程求流
数，并反过来，已知流数求变数），我没有把方法告诉他。这位著名人物回
信给我，他也想到了同类型的一种方法，并把它告诉了我。他的方法除了定
义、符号、公式和产生数的想法在形式上和我不一样以外，几乎并没有多大
①
的差异。”可见，牛顿是充分肯定莱布尼茨的微积分的发明的独立性的。至
于莱布尼茨，似乎从未对牛顿独立发明微积分的问题提出异议。
尽管牛顿和莱布尼茨两人对微积分发明居先权的争议似�