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略有赢钱的机会，但是一旦运气不好，连续十几次输钱，就有可能血本无归。
在另外三种下注系统中，下注金额都是随着总本金的增加而增长的。其中最极端的例子就是孤注一掷，第一次就把全部赌本押上，如果赢了，再把利润和本金一起再全部押上，这样押下去，直到把钱输光为止。
2004年，英国伦敦有个叫阿什利勒维尔的人，卖掉了自己所有家当，包括身上的衣服。勒维尔穿着一身租来的礼服，来到拉斯维加斯普拉泽饭店的赌场，押了135300美元玩轮盘赌。勒维尔决定始终把钱全部押在红色上面，结果赢了钱。赢钱之后他见好就收，立刻放弃了这种孤注一掷的策略。
事实上，勒维尔选择的轮盘赌这种方式对他不利。如果选择一种对自己有利的赌博方式，勒维尔的做法还是多少有些道理的。只要不输，孤注一掷的策略就总是有效。
在上面的图中，描述孤注一掷收益的那条曲线只是在紧靠左边的地方有一个不大的上扬趋势。开始的两次都是人头，所以采取孤注一掷策略的赌徒得以两次把手中的钱翻番。当第三次全押在人头上时，赶上了硬币反面，结果赔光老本，只好出局。在此之后，他的财富值一直为零。
乍看起来，双倍下注的成绩似乎不错。开始的时候，双倍下注的收益曲线始终领先于其他几种策略数十美元。但是，接着情况突然急转直下，想来是赌徒赶上了坏运气。由于每次下注的金额必须相当于前一次的两倍，所以，如果不能尽快转运的话，后面的损失可能更加惨重。与之相比，其他的收益曲线就不像这样大起大落了。对于双倍下注的赌徒来说，坏运气可能导致致命后果。在上面的模拟实验中，采用双倍下注策略的赌徒在第十九轮就把钱输光出局了，这时候，之后的收益走势曲线就无关紧要了。
代表凯利系统的收益趋势曲线有两个特征。请注意，固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都大致呈直线形态，但凯利系统的曲线呈现上升的形态。另外，与其他几条曲线相比，凯利系统的曲线表现出更多波动。
固定金额下注策略和双倍下注策略的走势曲线都是以算术级别增长的，相当于利用这两种策略下注的赌徒挣的是固定的计时工资。虽然自己的财富不断增加，但他们拒绝把新增的财富投入到赌本中去，没有把闲置资金充分运用起来。
相比之下，我们可以看到采用凯利系统的赌徒的财富是以几何级数增长的，原因在于他充分利用了手中的资本。采用凯利系统下注开始可能看不出什么回报，但坚持一段时间就会看到明显的效果。在上图的左半边，也就是从第1轮到第250轮的阶段，采取凯利系统下注的收益曲线与固定金额下注的收益曲线始终不相上下。甚至在大多数时间，固定金额下注的收益曲线都会略高一些。但在此之后，采取凯利系统下注的曲线开始一飞冲天，把其他两个下注策略远远抛在下面。在这次模拟实验中，采取凯利系统下注的赌徒在500轮中把本金增加了74倍之多。
除了凯利系统以外，还有无数其他的按比例下注策略。你可以每次都把全部资金的1％，或者10％，或者90％用于下注；也可以采用乘方的形式用优势值与上一个数字的三次方二者之间的比值作为比例，从全部资金中取出一部分用于下注。但是，与其他的众多按比例下注系统相比，凯利系统有什么与众不同之处呢？最简单的答案就是，使用凯利系统可以保证财富能以最快的速度增值。
下图把凯利系统和另外两种按比例下注策略进行了比较。采用的实验模型与上面相同，也是猜硬币，次数为500轮。可以看到，500轮之后，使用凯利系统下注的收益曲线从1美元涨到了74。46美元。
第44节：第二章（10）
图：几种类似凯利系统的下注策略的比较
标有〃准凯利系统〃的曲线描述的是另一种按比例下注策略的收益变化。根据准凯利系统，每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的一半。可以看到，准凯利系统的收益增长相比之下更加稳定，稳定的收益大多数情况下是件好事，但采取准凯利系统下注的赌徒最后的财富总额却远远低于采取凯利系统的赌徒，只有 16。07美元。
标有〃超凯利系统〃的曲线描述的是每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍的投注策略。本次实验中采取超凯利系统下注的赌徒最后的财富总额是35。88美元。这种〃双倍凯利〃系统非常不稳定，如果运气好的话收益可能非常丰厚，但一旦出现变故，就有可能损失巨大。请注意，在上面图中的开始阶段，三条曲线中表现最好的是超凯利系统，但是好景不长（图左靠下出现了一个火山形状的起伏）。之后，超凯利系统的财富曲线几乎下降到零，而且很长时间都维持在非常低的水平。如果我们把实验无限延长，就会看到采用双倍凯利系统的财富曲线会一再跌到1美元的初始资本甚至更低。
有时结果会更严重。虽然超凯利系统采取的也是按比例下注的策略，但仍然有可能导致破产。如果按照四倍凯利系统下注（每次下注金额相当于总资本的 40％），相应的收益曲线几乎与上图中横向的坐标轴平行，在上图中可能根本无法看到。这样，按照四倍凯利系统下注500轮将会使1美元的初始资金降低到 0。00000038美元。如果继续下注，那么总资本将无限减少，但从理论上讲，在货币单位可以无限减小且没有最低下注金额要求的条件下按照四倍凯利系统下注不会导致血本无归，虽然剩下的本金金额会少得无法计算。
凯利系统所依据的基础是所谓的〃大数法则〃。早在1713年，瑞士的数学家雅各布 伯努利就在一篇论文中提出了这个法则，但一直都被赌徒和投资者误解。雅各布伯努利提出的法则是针对期望值这个非常棘手的概念的。在美国赌场的轮盘赌中，如果轮盘保持百分之百水平放置，把赌注押在红色上面就有18∶38的胜算。是不是这就可以保证每转38次轮盘就能有18次指针指在红色上面呢？答案当然是否定的。（赌场里的事情谁能〃保证〃呢？）是不是如果过去一段时间指针总是指在黑色上面，所以接下来就会〃轮到〃红色呢？答案仍然是否定的。（虽然很多赌徒相信这种风水轮流转的说法。）
那么期望值和这又有什么关系呢？如果要把这条数学定理翻译成浅显易懂的语言，很多人都会使用〃从长期看〃这个词。人们经常会说这样的话，〃从长期看，指针指向红色的概率是18∶36。〃
但〃从长期看〃这句话不过是个口头语罢了，没有什么实际意义。不论你把轮盘转多少次，也无法保证指针指向红色区域与总数的比值与期望值相等。
如果把转盘一连转上380亿次，会不会有180亿次指针指在红色上面呢？答案仍然是否定的。那么，会不会指向红色的次数接近于180亿次呢？这就要看你说的〃接近〃是怎样定义的了。如果你说的〃接近〃上下只差十次，答案几乎肯定是否定的。事实上，实际值和期望值会随着转轮盘次数的增加而提高。
根据雅各布 伯努利的大数法则，我们（只能）知道，随着转动轮盘次数的增加，指针指向红色的次数会不断倾向于接近期望的概率。在轮盘转动数亿次之后，指针指向红色的概率会非常接近18∶38，也就是47。37％。
过去几个世纪以来，无数的赌徒通过实践都得出了下面的结论：大数法则对于赌场中的实际操作没有他们期望的现实意义。也就是说人们对大数法则的期望值是个负数，所以谁也别指望利用大数法则赚钱发财。
你也许会想，如果能找到一个期望值为正数的下注机会，也许可以通过长期应用大数法则来获得收益。但这也不一定。正如我们上面看到的，现实生活中存在着在短期内就破产出局的风险。即使采用按比例下注的方法，仍然有可能破产出局。第45节：第二章（11）
在信息论中，申农多次引用了大数法则。如果通信渠道中充满了噪音干扰，每个比特的值都无法确定，那么就只能利用百分比这个概念了。
凯利是通过模拟手段从期望值为正数的下注或者说投资机会中赚钱的。凯利系统管理资金的原理就是保证赌徒在赌局中坚持足够长的时间，直到大数法则开始起作用，从而带来赢利。
拉斯维加斯
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