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益率已超过1 0％，则相同的8％或9％的股票收益就被认为是宏观经济萧条的标志。＇ 1 ＇
等式1 0 … 3表明，每种证券有两种风险来源：市场的或系统的风险，它们的区别源
于它们对宏观经济因素的敏感度，这个差异反映在RM上，以及对公司特有风险的敏感
度，这个差异反映在e上。如果我们记市场超额收益RM的方差为
M2，则我们可以把每
个股票收益率的方差拆分成两部分：
项目 记号
1。 源于一般宏观经济因素的不确定性的方差
2iM2
2。 源于公司特有不确定性的方差 2（ei）
RM和ei的协方差为零，因为ei定义为公司特有的，即独立于市场的运动。因此证券
i的收益率的方差为：
2
22 2
=
＋
（ ei ）
i
i
M
两个股票超额收益率的协方差，譬如Ri与Rj的协方差，仅仅来自于一般因素RM，
因为ei和ej都是每个公司特有的，它们显然不相关。所以，两个股票的协方差为：
ijM2（1 0 … 4）
Cov（ Ri ； Rj ） = Cov（
j RM ） =
iRM ；
如果我们有：
n个期望超额收益E（Ri）的估计，
n个敏感度协方差
的估计，
n个公司特有方差
i
2（ei）的估计，
1个（一般）宏观经济因素的方差M2的估计，
那么，这一计算式就表明这些（3n＋1）个估计值将为我们的单指数证券模型准
备好输入的数据。这样，对于有5 0种证券的资产组合，我们将需要1 5 1个估计值，而
不是1 325 个；对整个纽约证券交易所的大约2 700个证券，我们将需要8 101个估计值，
而不是大约3 6 0万个！
＇1＇ 一些操盘手经常用一个“修改过”的指数模型，它与等式1 0 … 3相似，但是用总收益而不是超额收益。
输入每天的数据，这一模型的运用极为普遍。在这种情况下，短期国库券的收益率大约仅为每天
0 。 0 2％，所以总收益与超额收益几乎可以忽略。
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第10章单指数与多因素模型
243
很容易看出，简化后的指数模型为什么这么有用。对于巨大的证券市场，马克维
茨程序要求的估计数量在利用指数模型时仅仅需要其中的很小一部分。
另一优点不那么明显但同样重要。简化的指数模型对于证券分析的特别努力具有
决定意义。如果对每一对证券，我们都不得不直接计算其协方差，那么证券分析就不
能为企业所采用。例如，如果一个小组专长于计算机行业，另一组则专长于汽车行业，
则谁可能具有估计I B M与通用汽车公司之间协方差的一般背景呢？任一小组都不具有
形成一个企业之间互动的信息判断所需的对其他行业的深入理解。相比较，指数模型
提出以一种简单的方式来计算协方差。证券间的协方差由单个一般因素的影响所生成，
为市场指数收益所代表，可以用等式1 0 … 4简单地进行估计。
但是，这种简化来自于指数模型的假定，它并不是没有成本的。模型的“成本”
在于它置于资产收益不确定性结构上的限制。把不确定性分成简单的两部分—宏观
风险与微观风险，这一分类把真实世界的不确定性来源过分简单化了，并且错过了一
些依赖于股票收益的重要来源。例如，这种分类规则把行业事件排除在外，而这些事
件可能影响行业中的许多公司，但实质上却不影响整个宏观经济。
统计分析表明，相对于单指数，一些公司的公司特有成分是相关的。例如，在一
单独的行业股票（譬如计算机股票或汽车股票）当中的非市场成分。同时，统计上有
意义并不总是与经济上的重要性相吻合。从经济上来讲，与单指数模型假设更为相关
的问题是，用基于单因素或单指数假定估计的方差所组成的资产组合是否与用直接来
自于每组股票估计的方差所组成的资产组合有较大的差异，前者的有效性是否差些。
我们将在第2 8章的动态资产组合管理中进一步阐述这个问题。
概念检验
问题1：假定对股票A与B的指数模型由下列结果来估计：
RA ＝1 。 0％＋0 。 9RM＋eA
RB ＝…2 。 0％＋1 。 1RM＋eB
M ＝2 0％
（eA）＝3 0％
（eB）＝1 0％
找出每个股票的标准差和它们之间的协方差。
10。1。2 指数模型的估计
等式1 0 … 3也提出，我们该如何实际测度市场与公司特有的风险。假定我们观察市
场指数的超额收益和一个有较长持有期的特定资产。我们用一年期标准普尔5 0 0指数
和G M股票的每月超额收益作为例子。我们可以利用一个样本期间内的散点图（s c a t t e r
d i a g r a m）来简化结果，其结果如图1 0 … 1所示。
在图1 0 … 1中，横轴测度了市场指数（超过无风险利率的）的超额收益，竖轴测度
了问题中资产（我们例子中的G M）的超额收益。一对超额收益（一个是市场超额收
益，一个是G M的超额收益）组成了散点图中的一点。这些点从第1到第1 2，代表着从
1月份到1 2月份每月的标准普尔5 0 0指数和G M的超额收益。单指数模型表明，G M的超
额收益与标准普尔5 0 0指数的超额收益之间的关系由下式给定：
=
＋
RGM t
GM
GM RMt ＋ eGM t
注意，这一关系类似于回归方程（regression equation）。
在一个单变量的线性回归等式中，依赖变量标在一条截距为
、斜率为
的直线周
围。假定这条线的偏差e与独立变量不相关；同样，它们相互之间也不相关。这是因
为，这些假定与我们把指数模型看作回归模型的那些假定相当的类似。我们通过
G M来
测度的G M对市场的敏感度，它是回归直线的斜率。回归直线的截距是
，它代表了
G M
244 第三部分资本市场均衡
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平均的公司特有收益。在任一时期里，回归直线的特定观测偏差记为eG Mt，称为残值
（r e s i d u a l s）。每一个残值都是实际股票收益与由描述股票同市场之间一般关系的回归
等式所预测出的股票收益之间的差异。因此，它们测度了特定期间公司特有事件的影
响。利息参数
、和Va r（e），可以用标准回归技术来估计。
单指数模型回归等式的估计给出了证券特征线（security characteristic line，S C L），
图1 0 … 1中画出了这条曲线（回归结果和原始数据见表1 0 … 1）。证券特征线是典型的把证
券超额收益作为市场超额收益的函数的图形。
截距
斜率
市场指数超额收益
图10…1 GM的证券特征线（S C L）
表10…1 GM股票的证券特征线
月份G M收益市场收益月国库券收益G M超额收益市场超额收益
1 6 。 0 6 7 。 8 9 0 。 6 5 5 。 4 1 7 。 2 4
2 …2 。 8 6 1 。 5 1 0 。 5 8 …3 。 4 4 0 。 9 3
3 …8 。 1 8 0 。 2 3 0 。 6 2 …8 。 7 9 …0 。 3 8
4 …7 。 3 6 …0 。 2 9 0 。 7 2 …8 。 0 8 …1 。 0 1
5 7 。 7 6 5 。 5 8 0 。 6 6 7 。 1 0 4 。 9 2
6 0 。 5 2 1 。 7 3 0 。 5 5 …0 。 0 3 1 。 1 8
7 …1 。 7 4 …0 。 2 1 0 。 6 2 …2 。 3 6 …0 。 8 3
8 …3 。 0 0 …0 。 3 6 0 。 5 5 …3 。 5 5 …0 。 9 1
9 …0 。 5 6 …3 。 5 8 0 。 6 0 …1 。 1 6 …4 。 1 8
1 0 …0 。 3 7 4 。 6 2 0 。 6 5 …1 。 0 2 3 。 9 7
11 6 。 9 3 6 。 8 5 0 。 6 1 6 。 3 2 6 。 2 5
1 2 3 。 0 8 4 。 5 5 0 。 6 5 2 。 4 3 3 。 9 0
中值0 。 0 2 2 。 3 8 0 。 6 2 …0 。 6 0 1 。 7 5
标准差4 。 9 7 3 。 3 3 0 。 0 5 4 。 9 7 3 。 3 2
回归结果rG M …rt ＝ ＋ （rM …rt）
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第10章单指数与多因素模型
245
（续）
月份G M收益市场收益月国库券收益G M超额收益市场超额收益
估计系数…2 。 5 9 0 1 。 1 3 5 7
估计的标准差（ 1 。 5 4 7 ） （ 0 。 3 0 9 ）
变量残值＝1 2 。 6 0 1
残值的标准偏差＝3 。 5 5 0
R2＝0 。 5 7 5
当然，由于持有期收益的这个样本实在太小，以至我们不能理想地统计收益率。
我们只用它来作证明。我们发现，对于这个样本期间，G M股票的贝塔系数由回归曲
线的斜率估计出，为1 。 1 3 5 7。另外，证券特征线S C L的截距为每月…2 。 5 9％。
对于每个月t，我们的残值估计et是从证券特征线S C L的预测中得到的G M超额收
益的方差，它等于：
方差