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wX
X
2 C o v （rY，rZ）
Y
2
wZ C o v （rZ，rX） C o v （rZ，rY）
Z
协方差矩阵中有9个元素，资产组合的方差由这9项算得：
P2＝wX
2X2＋wY
2Y2＋wZ
2Z2＋wXwYC o v （rX，rY）＋wYwXC o v （rY，rX）
＋wXwYC o v （rX，rZ）＋wZwXC o v （rZ，rX）＋wYwZC o v （rY，rZ）＋wZwYC o v （rZ，rY）
＝wX2X2＋wY
2Y2＋wz
2z2＋2wXwYC o v （rX，rY）＋2wXwZC o v （rX，rZ）＋2wYwZC o v （rY，rZ）
2。 E（rD）＝8％，E（rE）＝1 3％，
D ＝1 2％，
E ＝2 0％，
（D，E）＝0 。 2 5
由标准差和相关系数得到协方差矩阵：
股票D E
D 1 4 4 6 0
E 6 0 4 0 0
得到总体方差最小的资产组合为：
2
… Cov（r； r） 400 … 60
w= E DE = = 0。801 9
D 22
D
＋
E … 2Cov（rD ； rE ） （144 ＋ 400）… （2 ′ 60）
w = 1 … w= 0。198 1
ED
于是得到期望收益和标准差为：
E（rP）＝（ 0 。 8 0 1 9×8 ）＋（ 0 。 1 9 8 1×1 3 ）＝8 。 9 9％
P ＝＇wD
2D2＋wE
2E2＋2wDwEC o v （rD，rE） ＇1 / 2
＝＇ （ 0 。 8 0 1 92×1 4 4 ）＋（ 0 。 1 9 8 12×4 0 0 ）＋（ 2×0 。 8 0 1 9×0 。 1 9 8 1×6 0 ） ＇1 / 2＝11 。 2 9％
对于其他的资产组合，我们将wD从0 。 1 0增至0 。 9 0，相应的wE从0 。 9 0降至0 。 1 0。将这
些资产组合代入期望收益与标准差的计算中，注意在wD或wE为1时，就代表单独持有
该股票，所得期望收益与标准差即为该股票自身的值。
于是我们得到下表：
wE wD E（r）
0 。 0 1 。 0 8 。 0 1 2 。 0 0
0 。 1 0 。 9 8 。 5 11 。 4 6
0 。 2 0 。 8 9 。 0 11 。 2 9
0 。 3 0 。 7 9 。 5 11 。 4 8
0 。 4 0 。 6 1 0 。 0 1 2 。 0 3
0 。 5 0 。 5 1 0 。 5 1 2 。 8 8
0 。 6 0 。 4 11 。 0 1 3 。 9 9
0 。 7 0 。 3 11 。 5 1 5 。 3 0
0 。 8 0 。 2 1 2 。 0 1 6 。 7 6
0 。 9 0 。 1 1 2 。 5 1 8 。 3 4
1 。 0 0 。 0 1 3 。 0 2 0 。 0 0
0 。 1 9 8 1 0 。 8 0 1 9 8 。 9 9 11。29 最小方差组合
这样就可以画出图形。
3。 a。股票和风险债券基金的期望收益与方差计算与第2题相似，在给出a部分的图
解时要注意这些计算。另外，基金之间的协方差为：
C o v （rA，rB）＝
（A，B）× A×
B ＝…0 。 2×2 0×6 0＝…2 4 0
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第8章最优风险资产组合
203
b。 最优风险组合的权重如下：
（10 … 5）60 2 … （30… 5）（ …240）
wA 0。681 8
（10 … 5）60 2 ＋ （30 … 5）20 2 … 30（…240）
wB = 1 … wA = 0。3182
收益期望值和标准差为：
E（rP）＝（ 0 。 6 8 1 8×1 0 ）＋（ 0 。 3 1 8 2×3 0 ）＝1 6 。 3 6％
P ＝＇ （ 0 。 6 8 1 82×2 02）＋0 。 3 1 8 22×6 02＋2×0 。 6 8 1 8×0 。 3 1 8 2 （…2 4 0 ） ＇1 / 2＝2 1 。 1 3％
注意到，这里最优风险组合的标准差小于A股票，同时，P资产组合并不是整体最
小方差资产组合，整体最小方差资产组合的权重为：
60 2 … （… 240）
wA 0。857 1
60 2 ＋ 202 … 2（… 240）
wB = 1 … wA = 0。142 9
最小方差资产组合的标准差为：
（ m i n ）＝＇ 0 。 8 5 7 12×2 02＋0 。 1 4 2 92×6 02＋2×0 。 8 5 7 1×0 。 1 4 2 9×（ … 2 4 0 ） ＇1 / 2
= 1 7 。 5 7％
这个标准差小于最优风险资产组合的标准差。
c。 资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最
优风险资产组合之间的所有有效率组合，资本配置线的斜率为：
E（ rP ） … rf 16。36 … 5
S = 0。537 6
21。13
P
d。 在给定的风险厌恶指数A的条件下，投资者愿意投资到最优风险资产组合的比
例为：
y =
E（rP ） … rf
2 =
16。36 … 5
= 0。508 9
0。01 ′ A
0。01 ′ 5 ′ 21。13 2
这意味着A＝5的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入5 0 。 8 9％的财产，由于
A、B两种股票在资产组合中的比例分别为6 8 。 1 8％和3 1 。 8 2％，这个投资者分别投资于这
两种股票的比例为：
A股票：0 。 5 0 8 9×6 8 。 1 8＝3 4 。 7 0％
B股票：0 。 5 0 8 9×3 1 。 8 2＝1 6 。 1 9％
总额：5 0 。 8 9％
P
4。 有效率边界来源于资产管理者对各种投资收益的预测和对风险，即协方差矩阵
的估计。预测本身并不能决定产出，于是选择带有乐观估计的管理者就意味着碰上好
的形势时会得到更大的收益，而在情况恶劣时的损失也会更大。我们应该做的是准确
地回报风险的承担者，于是当投资者看到资产管理者做出的曲线（预测）时，所要做
的应该是得到其预测准确性的纪录，从而选择预测更为准确的。这样进行资产组合的
选择，从长远来看将会更加出色。
5。 a。 资本配置线上的资产组合是风险资产与无风险资产的组合。于是其准确性也
依赖于有效率边界的准确性。如果我们通过“酬报与波动性比率”的准确性来测度预
测的准确性，就会发现，资本配置线上的所有资产组合的准确性都是相同的。
b。 资本配置线上的所有资产组合为P1和购买无风险债券的组合，这样的风险资产
和无风险资产的组合导致了资产期望收益和标准差之间的线性关系：
E（rP1） … rf
E（rP ） = rf ＋
P（5 … b）
P1
资本配置线（ C A L2）上的资产组合也是一样，只需在（5 … b式）中用E（rP2）、P2取代
E（rP1）、P1。而投资者希望得到E（rP1）和E（rP2）之间的期望收益率，则需用恰当的比例确
定P1和P2之间的风险资产，从其有效边界得到相应的资产组合。
附录8A 分散化的力量
在8 … 1节中引入了分散化的概念，但是，由于系统风险的原因，限制了进一步分
散化带来的更多的好处。运用我们已有的工具，我们可以更深层次地考察一下分散化，
同时加深对分散化力量的理解。
前面的8 … 1 0式给出资产组合方差的一般公式，有
（ 8 A … 1 ）
现在首先考虑一个单纯的分散化策略，构建一个等权重的资产组合，每一证券有
一平均的权重：wi＝1 /n。此时8 A … 1式可以改写为下式（我们把i＝j时的情况分别写出），
注意，C o v （ri ，rj）＝ i
2，
（ 8 A … 2 ）
8 A … 2式中包含n项方差和n（n…1 ）项协方差。
如果我们定义证券的平均方差和平均协方差为
我们可以将资产组合方差的表达式改写为
（ 8 A … 3 ）
现在考察一下分散化的影响。当证券收益之间的平均协方差为零时，这是因为此
时所有的风险都是公司特定风险，资产组合的方差可为零。我们从8 A … 3式中可以看到：
在这样的情景下，右边第二项为零，而当n足够大时，第一项趋近于零。因此，当证
券收益不相关时，资产组合分散化的力量对于限制资产组合的风险是无限的。
但是，最重要的经济领域的风险因素使得股票的收益是正相关的。在这种情况下，
尽管资产组合有更大程度的分散化（ n增大），资产组合的方差仍为正。尽管8 A … 3式中
第一项表示的公司特定风险可以分散掉，但是，第二项在n增大时，将趋近于平均协
方差＇注意，（n…1 ） /n＝1…1 /n，当n很大时，此式趋近于1 ＇。因此，分散化的资产组合不
可降低的风险依赖于资产组合中各项资产收益的协方差，而它也是经济中重要的系统
因素的函数。
为了进一步考察系统风险与证券相关性的关系，假定所有证券有同样的标准差，
而且所有证券间的相关系数为，每对证券的协方差为2，8 A … 3式变为：
（ 8 A … 4 ）
现在相关性的影响就非常清楚了，当＝0时，我们再次得到了保险原则，资产组
合的方差在n足够大时趋向于0，当＞0时，资产组合方差为正。实际上，当＝1时，
资产组合的方差不管n为多大都等于2，这表明分散化没有好处。当资产组合中各项
资产的收益完全相关时，现有的风险都是系统风险。一般来说，当n足够大时， 8 A … 4
P
2 =
1
n
2 ＋
n … 1
n
2
P
2 =
1
n
2 ＋
n …1
n
Cov
2 = 1
n i
2
i=1
n。
Cov = 1
n（n …1）
Cov（ri ； rj ）
i=1
n。
j =1
j 1i
n。