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协方差时，我们把平方和除以总观测数减1，所得的平均值即为估计值。
假定我们现在希望对股票与长期无风险政府债券之间的相关系数进行估计，我们
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764 第八部分附录
仍以表A … 3为例。假定现有从1 9 2 6年到1 9 9 3年这6 8个年超额收益的样本观测值。利用式（ A … 1 9 ）中相关系数的定义式，你可以对下面的统计量进行估计（脚标s表示
股票，b表示债券，t表示时期）：
Rs = 1 。（68） Rs ；t = 0。085 7；Rb = 1 。Rb； t = 0。162
68 t =1 68
=é 1 。（R… R ）2 ù1/2
= 0。2090
ss；ts
。67 。
=é 1
… Rb ）2 ù1/2
= 0。085 0
b 。 67 。（Rb； t 。
Cov（ Rs ； Rb ） = 1 。＇（Rs；t … Rs ）（Rb；t … Rb ）＇ = 0。00314
67
Cov（ Rs ； Rb ）
0。17916
sb
s
b
现在我们想说明一个有可能产生错误估计的例子。回忆一下，我们利用该样本进
行参数估计的前提假定是它们的概率分布在整个样本期内没有变化。为了考察这个假
定是否成立，我们现在对1 9 6 5～1 9 8 7年这段较近时期内股票、债券的相关系数进行重
新估计。这段时期正好是政府为越战与星球大战计划而大规模举债的时期。
如前面的计算过程，我们计算1 9 6 5年至1 9 8 7年的数据。我们得到：
Rs = 0。031 2； Rb =…0。003 17
=0。155 65
b= 0 。 112 17
C o v （Rs；Rb）=0。00 57
s
s b=0。326 47
两组数据的差别说明随机变量的概率分布很有可能随着时期的改变而改变，虽然
这个论断并不十分肯定，收益率与样本容量的变化正是我们不能确信的原因。所以我
们应该把注意力放在短期样本统计量的研究上。
A。3。3 回归分析
我们以注册金融分析师（ C FA ）考试（水平I，1 9 8 6）中的一个题目为例来代表理解
回归分析所需的基础水平。但是，我们先需要了解一些背景知识。
对相关性进行了这么多的分析，我们其实忽略了因果性的问题。在因果性的分析
中，变量被分为被解释变量与解释变量。假定理论（以其最基本的结构式）告诉我们
所有资产的超额收益都由同一个经济力量所决定，而这个经济力量又由宽广的市场指
数运动所体现（比如说标准普尔5 0 0指数的超额收益）。
假定我们的理论预言，在任何资产与市场指数的收益率之间存在着一个简单的线
性关系。一个线性关系，即可以被一条直线所刻划，一般具有如下的形式：
Rj ； t =aj＋bjRM ； t＋ej ； t （ A … 2 1 ）
式中下标j表示任何资产，M表示市场指数（在下面的叙述中，我们将尽可能地省
略下标）。在式（ A … 2 1 ）的左边，资产j的超额收益是被解释变量；右边分为两部分，即
被解释变量中的可被解释部分与随机部分。
Rj可被解释部分为a＋b RM。它被绘于图A … 7。数值a，有时也被称为截距，给出了
当解释变量为零时Rj的取值。在该关系中，我们假设其为常数。可被解释部分中的第
二项代表RM这种市场趋动力，当乘以敏感系数b后就把RM的运动传递给了Rj。同样，我
们也假设b为常数。图A … 7中b就是回归直线的斜率。
Rj 中不可被解释部分以扰动项ej表示。我们假定扰动项与解释变量RM无关，而且
具有零期望的特征。这样的变量也被称为“白噪声”变量，因为它仅仅能够加大被解
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附录A 定量计算的复习
765
释变量Rj的波动性，而对其期望却没有任何影响。
我们把数据代入式（ A … 2 1）所示的关系，然后对其系数进行估计，所得的方程即
为回归方程。仅含有一个解释变量的关系称为简单回归。参数a、b被称为回归系数。
因为每一个Rj的值都由回归方程所解释，Rj的期望值与方差也由该回归方程所决定。
利用式（ A … 2 1 ）中的期望表达式，我们有：
E（Rj）＝a＋b E（RM） （A…22）
常数a不会对Rj的方差产生影响。因为变量RM和ej不相关，所以两随机变量和b Rm＋e
的方差为两个随机变量各自方差的和。由于RM乘上了参数b，所以Rj的方差将为：
＋
e2（ A … 2 3 ）
2j=b2M2
式（A … 2 3）告诉我们，Rj波动性中RM部分取决于回归系数（即斜率）b。（b
M）2这
一项被称为可被解释方差，扰动项的方差构成了不可被解释方差。
Rj与RM之间的协方差也可由回归方程得到。利用前文的定义式，我们有，
C o v （Rj； RM）＝C o v （a＋b RM＋e； RM）
= C o v （b RM； RM）＝bC o v （RM； RM）＝b
2M（ A … 2 4 ）
截距a之所以没有出现在最后的表达式中，是因为在随机变量上加一个常数后，
它与其他随机变量的协方差将保持不变。另外，由于假设随机扰动项e与市场收益无
关，所以它也没有出现在最后的表达式中。
式（ A … 2 4 ）列出了回归参数b的另一个表达式：
Cov（ Rj ； RM ）
b =
2
M
于是，斜率b就成为了一个比例的测度，这个比例就是j与M的同步变动在解释变
量M这一趋动力的运动中所占的比例。
对回归方程解释能力到底如何的一种测度方法是看Rj的总方差中可被方程解释的
方差所占的比例。这个比值称为确定系数
2：
b22 b22
M
M
2jM= 2
j
=
bM
2M2＋ e2（ A … 2 5 ）
注意，确定系数与1 。 0之间的差由不可解释方差
e2组成。因此，表示确定系数的
另一种方法是：
2
2 e
jM 2
=1 …
j
运用代数知识，我们可
知确定系数即为相关系数的
平方。这也就是说，被解释
变量中由解释变量引起的方
差所占的比例即为相关系数
的平方（参见图A … 7）。
根据使观测值距回归估
计值偏差的平方和最小的原
则，我们能得到回归系数a、
b的估计值。你的计算器，或
者任何一个电子数据表程序，
都可以计算回归系数的估计图A…7 简单回归估计与残值，回归线上方差
值。和最小的截距与斜率
实际价值
（a＋bRM＋ej）
回归预计
（a＋bRM）
a=截距
b=斜率
残值=扰动的估计值
第八部分附录
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1 9 8 6年注册金融分析师（ C FA ）考试（水平I）的题目如下：
问题：
在对货币基金管理者进行业绩评估时，养老金计划的出资人一般很注重对各基金
进行排名的结果。事实上，各养老金的出资人都自然而然地认为，那些在同等的有代
表性的管理基金样本中，排在前1 / 4的经理在今后的业绩表现中将会优于那些排在后
1 / 4的管理基金。
通过对前一期基金业绩排名顺序进行本期的百分比排名回归，我们可以对这种评
判方法的正确性作出判断。
1。 假如出资人所认为的前提假定是正确的，即在各期内的百分比排名存在完全的
正相关，那么请给出回归直线的截距、斜率以及回归的R2值。
2。 假如基金的百分比排名在各期之间没有相互关系，那么请写出回归所得的截距、
斜率以及R2值。
3。 假定某一次回归分析所得的截距为0 。 5 1，斜率为－0 。 0 5，R2值为0 。 0 1。如果某基
金当期百分比率为0 。 1 5，那么根据这些回归数据，请给出该基金在下期内百分比排名
的最佳估计。
4。 某些养老金计划的出资人认为，在实际应用中他们应该放弃那些处于前1 / 4的
管理者，而转向那些处于后1 / 4的管理者。请说明在赞成这种实际方法的出资人的头脑
中，他们的前提假定是什么？或者说，在关于基金连续两期的百分比排名的关系中，
他们认为回归结果应该是什么样的？
答案：
1。 截距= 0，斜率= 1，R2= 1
2。 截距= 0 。 5，斜率= 0，R2= 0
3。 第5 0名，由下述计算得到：
y=a＋b x＝0 。 5 1－0 。 0 5 （ 0 。 1 5 ）＝0 。 5 1－0。007 5＝0。502 5
因为R2值太小，可能很难对基金排名作出精确的预测。
4。 这些赞成放弃好业绩基金、支持差业绩基金的出资人认为，连续两期内百分比
排名回归分析中的斜率及相关系数皆显著地为负。
A。3。4 多因素回归分析
一些基本理论告诉我们，在许多情况下一个被解释变量往往要由好多个独立的解
释变量来决定。对这个概念的明释只需以两变量的情形为例。一个房地产分析家对一
个分散性房地产资产组合的收益�