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D i s c o n t i n u o u s ；” Journal of Financial Economics 3（January…March 1976）； PP。 125…44。
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b）
a）
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第21章期权定价
557
概念检验
问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？（提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？）
21。4 布莱克…舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。
21。4。1 布莱克…舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯＇ 1 ＇与默顿＇ 2 ＇发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了1 9 9 7年诺贝
尔经济学奖＇ 3 ＇。现在，布莱克…舒尔斯定价公式（Black…Scholes pricing formula）已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：
C0=S0 N（d1）…Xe N（d2） （ 2 1 … 1 ）
…r T
其中
1n（s0/ X） ＋ （r ＋ 2/2）T
d1 =
T
d2 = d1 …
T
式中C0 —当前的看涨期权价格；
S0 —当前的股票价格；
N（d）—标准正态分布小于d的概率，图2 1 … 6的阴影部分；
X—执行价格；
e—2 。 7 1 8 2 8，自然对数的底；
r—无风险利率（与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益
率，与离散时间的收益率rf不同）；
T—期权到期时间；
l n—自然对数函数；
—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格
的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克…舒尔斯公式假定股票不
支付红利。
尽管你会觉得布莱克…舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
N（d）部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下2 1 … 1式，假设
两个N（d）均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为S0 …Xe …r T ，
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，S0 …P V （X）。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为P V （X）的债
＇1＇ 3 Fischer Black and Myron Scholes； The Pricing of Options and Corporate Liabilities； Journal of Political
Economy 81（ May…June 1973）。
＇2＇ Robert C。 Merton； Theory of Rational Option Pricing； Bell Journal of Economics and Management
Science 4（Spring 1973）。
＇3＇ 布莱克于1 9 9 5年去世。
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558 第六部分期权、期货与其他衍生工具
务，或以连续复利计算为Xe …r T的债务。
现在再看2 1 … 1式，如果N（d）趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于N（d）在0与1之间时，2 1 … 1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。
那么，N（d）又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意l n （S0/X），在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果S0= 1 0 5，X= 1 0 0，期权实值
的百分比是5％，l n （ 1 0 5 / 1 0 0 ） = 0 。 0 4 9，
同理，如果S0= 9 5，则期权虚值的百
分比是5％，l n （ 9 5 / 1 0 0 ） =…0 。 0 5 1，分
母
T，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，N（d1）与N（d2）代表期权到期时处
于实值的概率。
布莱克…舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格S0= 1 0 0 利率r= 0 。 1 0 （每年1 0％）
执行价格X= 9 5 期权期限T= 0 。 2 5 （ 3个月）
= 0 。 5 0 （每年5 0％）
首先计算：
ln（100/95）
＋ （0。10 ＋ 0。52 /2）′ 0。25
d1 =
= 0。43
0。5
0。25
d2 = 0。43 … 0。5 0。25 = 0。18
接下去查N（d1）与N（d2），在统计书中可以查到正态分布表，如表2 1 … 2，查得
N（ 0 。 4 3 ） = 0 。 6 6 6 4， N（ 0 。 1 8 ） = 0 。 5 7 1 4。
于是，看涨期权价值为
C= 1 0 0×0。666 4…9 5 e…0 。 1 0×0 。 2 5×0。571 4=66。64…52。94 =13。70美元
概念检验
问题6：如果股票的标准差为0 。 6而不是0 。 5，计算看涨期权价格，并说明标准差越
大，期权价值越大。
表21…2 累积正态分布
图21…6 标准正态曲线
N（d）=阴影区
d N（d） d N（d） d N（d）
…3 。 0 0 0 。 0 0 1 3 …0 。 7 8 0 。 2 1 7 7 0 。 8 4 0 。 7 9 9 6
…2 。 9 5 0 。 0 0 1 6 …0 。 7 6 0 。 2 2 3 6 0 。 8 6 0 。 8 0 5 1
…2 。 9 0 0 。 0 0 1 9 …0 。 7 4 0 。 2 2 9 7 0 。 8 8 0 。 8 1 0 6
…2 。 8 5 0 。 0 0 2 2 …0 。 7 2 0 。 2 3 5 8 0 。 9 0 0 。 8 1 5 9
…2 。 8 0 0 。 0 0 2 6 …0 。 7 0 0 。 2 4 2 0 0 。 9 2 0 。 8 2 1 2
…2 。 7 5 0 。 0 0 3 0 …0 。 6 8 0 。 2 4 8 3 0 。 9 4 0 。 8 2 6 4
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第21章期权定价
559
（续）
d N（d） d N（d） d N（d）
…2 。 7 0 0 。 0 0 3 5 …0 。 6 6 0 。 2 5 4 6 0 。 9 6 0 。 8 3 1 5
…2 。 6 5 0 。 0 0 4 0 …0 。 6 4 0 。 2 6 11 0 。 9 8 0 。 8 3 6 5
…2 。 6 0 0 。 0 0 4 7 …0 。 6 2 0 。 2 6 7 6 1 。 0 0 0 。 8 4 1 4
…2 。 5 5 0 。 0 0 5 4 …0 。 6 0 0 。 2 7 4 3 1 。 0 2 0 。 8 4 6 1
…2 。 5 0 0 。 0 0 6 2 …0 。 5 8 0 。 2 8 1 0 1 。 0 4 0 。 8 5 0 8
…2 。 4 5 0 。 0 0 7 1 …0 。 5 6 0 。 2 8 7 7 1 。 0 6 0 。 8 5 5 4
…2 。 4 0 0 。 0 0 8 2 …0 。 5 4 0 。 2 9 4 6 1 。 0 8 0 。 8 5 9 9
…2 。 3 5 0 。 0 0 9 4 …0 。 5 2 0 。 3 0 1 5 1 。 1 0 0 。 8 6 4 3
…2 。 3 0 0 。 0 1 0 7 …0 。 5 0 0 。 3 0 8 5 1 。 1 2 0 。 8 6 8 6
…2 。 2 5 0 。 0 1 2 2 …0 。 4 8 0 。 3 1 5 6 1 。 1 4 0 。 8 7 2 9
…2 。 2 0 0 。 0 1 3 9 …0 。 4 6 0 。 3 2 2 8 1 。 1 6 0 。 8 7 7 0
…2 。 1 5 0 。 0 1 5 8 …0 。 4 4 0 。 3 3 0 0 1 。 1 8 0 。 8 8 1 0
…2 。 1 0 0 。 0 1 7 9 …0 。 4 2 0 。 3 3 7 3 1 。 2 0 0 。 8 8 4 9
…2 。 0 5 0 。 0 2 0 2 …0 。 4 0 0 。 3 4 4 6 1 。 2 2 0 。 8 8 8 8
…2 。 0 0 0 。 0 2 2 8 …0 。 3 8 0 。 3 5 2 0 1 。 2 4 0 。 8 9 2 5
…1 。 9 8 0 。 0 2 3 9 …0 。 3 6 0 。 3 5 9 4 1 。 2 6 0 。 8 9 6 2
…1 。 9 6 0 。 0 2 5 0 …0 。 3 4 0 。 3 6 6 9 1 。 2 8 0 。 8 9 9 7
…1 。 9 4 0 。 0 2 6 2 …0 。 3 2 0 。 3 7 4 5 1 。 3 0 0 。 9 0 3 2
…1 。 9 2 0 。 0 2 7 4 …0 。 3 0 0 。 3 8 2 1 1 。 3 2 0 。 9 0 6 6
…1 。 9 0 0 。 0 2 8 7 …0 。 2 8 0 。 3 8 9 7 1 。 3 4 0 。 9 0 9 9
…1 。 8 8 0 。 0 3 0 1 …0 。 2 6 0 。 3 9 7 4 1 。 3 6 0 。 9 1 3 1
…1 。 8 6 0 。 0 3 1 4 …0 。 2 4 0 。 4 0 5 2 1 。 3 8 0 。 9 1 6 2
…1 。 8 4 0 。 0 3 2 9 …0 。 2 2 0 。 4 1 2 9 1 。 4 0 0 。 9 1 9 2
…1 。 8 2 0 。 0 3 4 4 …0 。 2 0 0 。 4 2 0 7 1 。 4 2 0 。 9 2 2 2
…1 。 8 0 0 。 0 3 5 9 …0 。 1 8 0 。 4 2 8 6 1 。 4 4 0 。 9 2 5 1
…1 。 7 8 0 。 0 3 7 5 …0 。 1 6 0 。 4 3 6 5 1 。 4 6 0 。 9 2 7 9
…1 。 7 6 0 。 0 3 9 2 …0 。 1 4 0 。 4 4 4 3 1 。 4 8 0 。 9 3 0 6
…1 。 7 4 0 。 0 4 0 9 …0 。 1 2 0 。 4 5 2 3 1 。 5 0 0 。 9 3 3 2
…1 。 7 2 0 。 0 4 2 7 …0 。 1 0 0 。 4 6 0 2 1 。 5 2 0 。 9 3 5 7
…1 。 7 0 0 。 0 4 4 6 …0 。 0 8 0 。 4 6 8 1 1 。 5 4 0 。 9 3 8 2
…1 。 6 8 0 。 0 4 6