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股票的风险与收益参数也不会受任何影响。
这个例子中的套期保值率是一股股票对两份看涨期权，或者说是半股股票对一份
看涨期权。对所出售的每份看涨期权来说，资产组合中必须保持半股股票以进行套期
保值。这个比率在这里简单解释如下，它是期权价值范围与股票价值范围的比率。期
权的价值可能为0，也可能为7 5美元，所以变动范围为7 5美元。股票价值可能为5 0美元，
或者2 0 0美元，变动范围为1 5 0美元。这个比率为7 5 / 1 5 0，即1 / 2，这正是套期保值率。
套期保值率等于范围的比率，因为在这个两状态的例子中，期权与股票具有完全
相关性。当期权与股票的收益完全相关时，完全套期保值要求期权与股票的比例仅由
相对波动性来决定。
对其他两状态期权问题，套期保值率的一般公式为：
C＋… C…
H =
S＋… S…
这里，C＋或者C…分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而S＋ 与S…分别
是两状态下的股票价格。套期保值率为H，是期权与股票在期末可能的价值变动范围
的比率。如果投资者出售一份期权并且持有H股股票，那么该资产组合的价值将不受
股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值
等于已知收益的现值。
用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：
1） 给定可能的年末股票价格，S＋= 2 0 0与S…= 5 0，执行价格为1 2 5美元，计算C＋= 7 5
与C…= 0。股票价格的变动范围为1 5 0美元，而期权价格的波动范围是7 5美元。
2） 套期保值率为7 5 / 1 5 0 = 0 。 5。
3） 由0 。 5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为2 5美元。
4） 年利率为8％、2 5美元的现值为2 3 。 1 5美元。
5） 让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：
0 。 5S0 …C0= 2 3 。 1 5美元
5 0美元…C0= 2 3 。 1 5美元
6） 解出看涨期权的价值，C0= 2 6 。 8 5美元。
如果期权的价值被高估，譬如3 0美元，那么会怎样呢？会获得套利利润。以下是
套利的具体做法：
（单位：美元）
做法
对每个可能的股票价格，一年后的现金流
初始现金流S= 5 0 S= 2 0 0
1。 出售两份期权6 0 0 …1 5 0
2。 购买1股股票…1 0 0 5 0 2 0 0
3。 以年利率8％借入4 0美元4 0 …4 3 。 2 …4 3 。 2
总计0 6 。 8 0 6 。 8 0
虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低
估了，我们只要采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。记住，
下载
第21章期权定价
555
用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8％、6 。 8 0美元
的现值是6 。 3 0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3 。 1 5美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即3 0美元减去公平价值2 6 。 8 5美元。
概念检验
问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2 4美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3 。 0 8美元的无风险现金流。
21。3。2 两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1 0％或者将下降5％，股票的初始价
格为每股1 0 0美元，在一年中价格可能的路径为：
121
110
100
104。50
95
90。25
中间价为1 0 4 。 5 0美元，可通过两条路径获得：先增加1 0％，再降低5％；或者先降
低5％再增加1 0％。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。
C＋＋
C＋
C…＋
C
C
C…
使用类似前面采用的方法，我们可以从C＋ ＋与C＋…得到C＋，然后从C…＋ 与C… …得到C…，。。
最后再从C＋ 与C…得到C。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个3个月，或者1 2个1个月，或者3 6 5天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
S＋＋＋
s＋＋
S＋＋
S＋
S…＋
S
S＋
S
S…
S
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S＋ ＋ ＋ 或者S… … …是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像S＋ ＋…能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S＋ ＋…。
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556 第六部分期权、期货与其他衍生工具
因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial model）。
例如，初始股票价格为1 0 0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5％而减少3％，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：＋ ＋ ＋，＋ ＋…，＋…＋，…＋ ＋，＋… …，…＋…，… …＋，… … …。
每个都有1 / 8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率 股票价格
3升1 / 8 1 0 0×（ 1 。 0 5 ）3= 11 5 。 7 6
2升1降3 / 8 1 0 0×（ 1 。 0 5 ）2×0 。 9 7 = 1 0 6 。 9 4
1升2降3 / 8 1 0 0×1 。 0 5×（ 0 。 9 7 ）2= 9 8 。 7 9
3降1 / 8 1 0 0×（ 0 。 9 7 ）3= 9 1 。 2 7
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2 1 … 5 a ）是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2 1 … 5 b ）所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布＇ 1 ＇。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21…5 概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下注：a） 三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为1 0 0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5％，或下跌3％。
期保值率，对资产组合的构成进
b） 每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
行更新。通过不断改变套期保值
价格或上涨2 。 5％，或下跌1 。 5％。随着期间数的增加，股票
头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
＇1＇ 实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：John C。 Cox and Stephen A。 Ross； “T h e
Valuation of Options for Alternative stochastic Processes”； Journal of Financial Economics 3 （January…
March 1976）； PP。 1 4 5 … 6 6 ； 或者Robert C。 Merton； “Option Pricing when Underlying stock Returns Are
D i s c o n t i n u o u s ；” Journal of Financial Economics 3（January…M