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则以较低的曲率降低。例如，在图1 6 … 7中，债券A与债券B在初始处有相同的久期：它
们的价格作为利率变化的函数成比率变化的图形相切，这意味着它们对收益变化的敏
感程度相同，至少对较小的收益变化的敏感程度相同。但是，债券A比债券B的图形更
凸，这表明在利率有一较大变化时，有更大的价格增长或较小的减少。当然，如果凸
性是理想的，它不会是免费的，投资者可能不得不对更具凸性的债券付出更多，并接
受一个较低的到期收益率。
到期收益率的变化（％）
债券A
债券B
图16…7 两种债券的凸性
凸性意味着债券的价格…收益曲线在更高收益率时会变得平缓，即斜率是较低的
负值。因此，我们可以让凸性作为价格…收益曲线斜率变化率的合适的表达，也是债券
价格的部分表达＇ 1 ＇。作为一个实际的法则，我们将看到有更高凸性的债券显示出价格
收益关系有一更高的曲率。不可赎回债券的凸性（如图1 6 … 6）是正的：有更高收益率
时，斜率将增加（即变得较低的负值）。
凸性允许我们改进随债券价格变化而变化的久期近似值。考虑到凸性，等式1 6 … 2
可以修正如下＇ 2 ＇：
DP/P＝…D*Dy＋1 / 2×凸性×（cy）2 （ 1 6 … 3 ）
等式右侧第一项与等式1 6 … 2的第一项是相同的，第二项是由于凸性引起的修改。注意，
＇1＇ 我们在前述中曾指出，在等式1 6 … 2中修正久期可以写成dP/P＝…D* dy。因此，D*＝…1 /P×dP/ dy是价
格…收益曲线的斜率，它作为债券价格的部分表达。同样，债券的凸性等于价格…收益曲线除以债券价
格的二阶导（斜率的变化率）：1 /P×d2P/ dy2。期限为n年，每年支付一次息票的债券凸性公式如下
凸性＝1 / ＇P×（ 1＋y）2＇ 。（n） ｛ ＇ C Ft/ （ 1＋y）t＇ （t2＋t） ｝
t =1
这里，C Ft为在时期t付给债券持有人的现金流，C Ft或者代表了到期前的息票利息的支付，或者是到期
的本息支付。
＇2＇ 运用凸性规则，一定要用数字而不是百分比来表达利率。
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第16章固定收入资产组合的管理
405
对于有一正的凸性的债券，不管收益率是上升还是下降，第二项是正的。这一见解与
前面刚刚提及的久期规则有关，久期规则表明当收益率变动时总是低估债券的新价值。
把凸性考虑进来的等式1 6 … 3更精确了，它预测的债券价值将比等式1 6 … 2的预测值总是
高些。当然，如果收益率变化很小，等式1 6 … 3中的凸性这一项要乘以（Dy）2，得出的积
会很小，使久期的近似值不会有什么增加。在这种情况下，久期规则给出的线性近似
将是足够精确的。因此，凸性在利率有一很大的潜在变化时才会作为一个更重要的实
际因素。
凸性是我们先前提及的利率免疫例子中导致小误差的原因。例如，回到图1 6 … 5中，
我们将看到，有相同久期的一次性支付负债与息票债券投资在利率变化很小时可以很
好地获得利率免疫的效果。但是，当利率有一较大变化时，两条价格曲线开始分开，
这意味着收益率的变化导致了小额剩余的产生。这是由于息票债券具有更大的凸性。
现在我们利用一个数字的例子来说明凸性的效应。图1 6 … 6中的债券的到期期限为
3 0年，息票利率为8％，出售时的初始到期收益率为8％。由于息票利率等于到期收益
率，债券以面值，即1 000 美元出售。在初始收益率时债券的修正久期为11 。 2 6 年，它
的凸性为2 1 2 。 4 （这可以由页下注＇ 1 ＇中的公式证明）。如果债券的收益率从8％增至1 0％，
债券价格将降至8 11 。 4 6美元，下降1 8 。 8 5％。久期法则，等式1 6 … 2将对价格作出预测
DP/P＝…D*Dy＝…11 。 2 6×0 。 0 2＝…0。225 2，或…2 2 。 5 2％
这比债券价格的实际下降幅度大很多，而运用等式1 6 … 3所表达的久期…凸性规则，得出
的结果会更精确＇ 1 ＇：
DP/P＝…D*Dy＋ 1 / 2×凸性×（Dy）2
＝…11 。 2 6×0 。 0 2＋1 / 2×2 1 2 。 4×（ 0 。 0 2 ）2
＝…0。182 7，或…1 8 。 2 7％
这个结果与实际的债券价格变化十分接近了。
注意，收益的变化很小，譬如只有0 。 1％，凸性就几乎不起作用。这时债券的价格
实际下降到9 8 8 。 8 5美元，下降了1 。 11 5％。不考虑凸性，我们预计债券价格下降的幅度
为
DP/P＝…D*Dy＝…11 。 2 6×0 。 0 0 1＝…0 。 0 11 26 ，或…1 。 1 2 6％
考虑到凸性，我们可以得到几乎精确的正确答案为：
DP/P＝…11 。 2 6×0 。 0 2＋1 / 2×2 1 2 。 4×（ 0 。 0 0 1 ）2
＝…0 。 0 111 5 ，或…1 。 11 5％
在这个例子中久期规则还是十分准确的，尽管没有考虑凸性。
16。4 积极的债券管理
16。4。1 潜在利润的来源
广义地说，在积极的债券管理中有两个潜在价值的来源。第一个来源是利率预测，
它试图预测整个固定收入市场范围的利率运动。如果预测到利率会下降，管理者就会
增加资产组合的久期（反之亦然）。第二个潜在的利润来源就是固定收入市场内相关
的价格失衡情况的确定。例如，一位分析人员可能相信一种特定债券的违约溢价过大，
因此，债券的价格被低估了。
只要分析人员的信息或见解优于市场中的其他人，这些技术就会带来非常规收益。
如果市场上的所有人都意识到利率会下降，你就不能从利率即将下降的知识中获益。
＇1＇ 注意，当我们运用等式1 6 … 3时，我们是用数字而不是用百分比表示利率，利率从8％到1 0％的变化是由
Dy＝0 。 0 2来表示的。
第四部分固定收益证券
406
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因为在这种情况下，利率的预期下降在某种意义上已影响到债券的价格，久期长的债
券已经高价出售以反映未来短期利率的预期下降。如果分析人员没有先于市场得到信
息，那么他对此信息作的反应一定已经太迟了—市场价格已经对信息作出了反应。
我们已从市场的有效性讨论中了解到这一点。
现在我们再次指出，有价值的信息即是不寻常的信息。值得注意的是，利率预测
有一声名狼藉的糟糕记录。考虑到这一点，你在投身债券市场之前就应认真思量思
量。
霍默与利伯维茨创造了一种流行的债券组合策略的分类方式。他们把证券组合的
各种再平衡活动归类为四种债券掉期（bond swaps）方式之一。在前两种掉期方式中，
投资者总是相信债券或部门的收益关系有一暂时的错乱。当错乱消除时，价格偏低的
债券就会有利可图。这段重新调整的时期叫作市场疲软期（workout period）。
1） 替代掉期（substitution swap）是一种债券与另一种相近替代债券的交换。相
互替代的债券应有基本相等的息票利率、期限、质量、赎回特征及相同的证券偿债基
金条款，等等。如果人们相信市场中这两种债券价格有一暂时失衡，而债券价格的这
种不一致能带来获利的机会，那么，这种掉期方式就会出现。
这里是一个替掉期的例子，出售一种2 0年期、息票利率为9％、5年后可以1 050美
元赎回的福特公司债券，这个价格的到期收益率为9 。 0 5％；与之相配的是购买一种息
票利率为9 。 1 5％的克莱斯勒公司债券，它有着与福特公司债券相同的赎回条款、到期
时间和9 。 1 5％的到期收益率。如果两种债券有相同信用等级，克莱斯勒公司就没有明
显的理由提供更高的收益率。因此，只有使克莱斯勒债券在市场中显得更具吸引力，
它才会有更高的收益率。当然，信用风险相同是一个重要条件。如果克莱斯勒债券实
际上风险更大，那它的高收益率也不表示在市场中更受欢迎。
2） 市场间价差掉期（intermarket spread swap）是当投资者相信债券市场两个部门
间的收益率差只是暂时出轨时出现的行为。例如，如果公司债券与政府债券的现有价
差被认为过大，并认为将来会缩小，投资者就会从投资政府债券转向投资公司债券。
如果收益率差确实缩小了，公司债券将优于政府债券。例如，如果2 0年期国债与2 0年
期B a a等级的公司债券的收益率差现为3％，而历史上的差价仅为2％，投资者会考虑卖
掉手中所持国债，换成公司债券。如果收益率差确实缩小了，B a a等