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说，债券价格对收益增加变化的敏感性低于相应的债券期限的增加。
5） 利率风险与债券的息票率有一反向关系，高息票率的债券价格与低息票率的债
券价格相比，前者对利率变化的敏感性较低。
另外，还有一个关系，已被霍默（H o m e r）和利伯维茨（L i e b o w i t z）＇2＇ 所证明，
即
6） 当债券以一较低的初始到期收益率出售时，债券价格对收益变化更敏感。
图1 6 … 1说明了以上六法则，图中的曲线表明价格变化的百分比随着不同息票率、
初始到期收益率和到期时间的四种债券的到期收益率的变化而变化。所有四种债券说
明了法则1与法则2：当收益下降时，价格增加，价格曲线是凸的，意味着收益的减少
比等规模收益的增加对价格有更大的影响。债券A与债券B相比较说明了法则3：债券B
的价格比债券A的期限更长，对利率也更为敏感。另外，图中还显示出债券B的到期期
限是债券A的6倍，但是，它对利率的敏感性要低于6倍。这与马尔凯尔的法则4：利率
敏感性的增加低于相应的债券期限的增加是一致的。在所有的方面（除了息票率）都
很像的债券B与债券C说明了法则5：低息票率债券对利率变化更敏感。最后，在所有
的方面（除了到期收益率）都很像的债券C与债券D说明了法则6：收益较低的债券确
实对利率变化更敏感。
马尔凯尔论述的债券…定价关系确定了决定利率风险的主要因素是期限的长度。
但是，这些关系也表明，期限单独并不足以测度利率的敏感性。例如，图1 6 … 1中的债
＇1＇ Burton G。Malkiel；“Expectations； Bond Prices； and the Ferm Structure of Interest Rates；”Q u a rt e r l y
Journal of Economics 76 （May 1962）； pp。 197…218。
＇2＇ Sidney Homer and Martin L。Liebowitz； Inside the Yield Book： New Tools for Bond Market Strategy
（Englewood Cliffs； N。J。： Prentice Hall； 1972）。
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第16章固定收入资产组合的管理
389
券B和债券C有相同的期限，但是，息票率高的债券对利率变化的价格敏感性较低。显
然，我们需要知道的比债券的期限可以确定利率风险量要更多些。
债券息票利率到期
年年年
年
初始
Y T M
到期收益率的变化（％）
图16…1 债券价格变化是到期收益率变化的函数
我们来看看为什么债券的特征，譬如息票率或到期收益率会影响利率的敏感性？
我们从一些简单的数字例子来开始分析。表1 6 … 1列出了半年一付息、息票率为8％的债
券不同的到期收益和不同的到期期限T（利率以年百分率（A P R）表示，这意味着两
倍的真实半年息票率就是年收益率）。最短期债券在利率从8％升到9％时价格下跌少于
1％。1 0年期的债券价格下跌6 。 5％，而2 0年期的债券价格下跌则超过了9％。
表16…1 息票率为8 ％的债券的价格（半年支付一次息票利息）
到期收益率（A P R） T＝1年T＝1 0年T＝2 0年
8％ 1 000。00 1 000。00 1 000。00
9％ 9 9 0 。 6 4 9 3 4 。 9 6 9 0 7 。 9 9
价格变化① 0 。 9 4％ 6 。 5 0％ 9 。 2 0％
① 到期收益率为9％的等值债券除以收益（最初）为8％的债券，再减去1。
表16…2 零息票债券的价格（半年计一次复利）
到期收益率（A P R） T＝1年T＝1 0年T＝2 0年
8％ 9 2 4 。 5 6 4 5 6 。 3 9 2 0 8 。 2 9
9％ 9 1 5 。 7 3 4 1 4 。 6 4 1 7 1 。 9 3
价格变化① 0 。 9 6％ 9 。 1 5％ 1 7 。 4 6％
① 到期收益率为9％的等值债券除以收益（最初）为8％的债券，再减去1。
让我们现在来看看类似的例子，不过这次不是息票率为8％的债券，而是零息票债
券。其结果请看表1 6 … 2，注意，对于每种期限，零息票债券价格的下跌比率比息票率
为8％的债券价格下跌的比率更大。因为我们知道长期债券比短期债券对利率的起伏更
为敏感，这从某种意义上说明了零息票债券代表了长期债券，而不是到期日相同的息
票债券。实际上，这种对久期限的洞察力对我们进行数学上精确的计算是十分有用的。
一开始我们注意在上述例子中，两种债券的到期时间并不能很好地测度出债券的
长期或短期的性质。息票率为8％的2 0年期债券有多次利息支付，其中绝大多数是在债
券到期日前进行的。每次支付都可以认为有它自己的“到期日”。因此，债券久期限
第四部分固定收益证券
390
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应是由于债券支付的所有现金流的到期期限的一个平均。相比较，零息票债券仅在到
期时有一次支付。所以，它的到期时间是个很容易定义的概念。
16。1。2 久期
为了解决债券多次支付的“期限”含糊不清的问题，我们需要一种测度债券发生
现金流的平均期限的方法，从而能够对债券的久期限进行正确地概括统计。我们也可
以用久期来测度债券对利率变化的敏感性，因为我们已经注意到价格敏感性会随着到
期时间的增长而增加。
弗雷德里克·麦考利（Frederick Macaulay）＇1＇ 定义久期限为久期（d u r a t i o n），并
指出根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。他认为与每次
支付时间相关的权重应当同那次支付对债券价值的“重要性”相联系。他还进一步指
出，与每次支付时间相关的权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比
例正好等于支付的现值除债券价格。
因此，权重wt同时间t时的现金流C Ft有如下关系：
wt ＝＇ C Ft/ （ 1＋y）t＇ /债券价格
这里，y为债券的到期收益率。等式右边的分子是时间t时发生的现金流的现值，分母
是债券所有支付的总和。权重之和为1，因为按到期收益率折现的现金流之和等于债
券价格。
D =。（T） t ′ wt （ 1 6 … 1 ）
t=1
用这些值来计算各次支付的时间的加权平均值，我们就得到了麦考利的久期公
式：
作为公式1 6 … 1的应用举例，我们可以从表1 6 … 3中得出息票率为8％和零息票债券
（每种债券的期限都是2年）的久期，我们假定债券的到期收益率是每年1 0％或每半年
5％。
表16…3 两种债券的久期计算
（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ）
名称 至支付的支付/美元半年5％折现权重① （ 1 ）×（ 4 ）
时间/年支付/美元
债券A
8％债券0 。 5 4 0 3 8 。 0 9 5 0。039 5 0。019 8
1 。 0 4 0 3 6 。 2 8 1 0。037 6 0。037 6
1 。 5 4 0 3 4 。 5 5 3 0。035 8 0。053 7
2 。 0 1 040 8 5 5 。 6 11 0。887 1 1。774 2
总计9 6 4 。 5 4 0 1。000 0 1。885 3
债券B
零息票债券0 。 5 ~ 1 。 5 000 0
2 。 0 1 000 8 2 2 。 7 0 1 。 0
2
总计8 2 2 。 7 0 1 。 0 2
① 权重＝债券价格÷每一次支付的现值（第3列），债券A的现值为9 6 4 。 5 4美元，债券B的现值
为8 2 2 。 7 0美元。
＇1＇ Frederick Macaulay； Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates； Bond
Yields； and Stock Prices in the United States since 1856 （new York： National Bureau of Economic
Research； 1938）。
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第16章固定收入资产组合的管理
391
第5列中的数字是支付时间同支付权重的乘积。每个乘积都是公式1 6 … 1中相应的
一项。根据公式，我们可以通过把第5列中的数字加起来而计算出每种债券的久期。
零息票债券的久期正好等于它的到期时间。这很好理解，由于只有一次支付，到
支付的平均时间一定就是债券的期限。相比较，2年期息票债券的久期就稍微短一些，
为1。885 3年。
久期之所以是固定收入资产组合管理中的一个关键概念至少有三个原因。首先，
它是对资产组合实际平均期限的一个简单的概括统计；其次，它被看作是使资产组合
免疫于利率风险的一个重要工具，我们将在第1 6 。 2节中，研究这种应用；第三，久期
是资产组合的利率敏感性的测度，我们将在这里研究这个问题。
我们已经注意到长期债券比短期债券对利率波动更为敏感，久期作为尺度使我们
能够量化这个关系。具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收