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这些研究工作的方法，正如朱载堉自己所说的是：“辑名历五十家，倾心考
证，时刻分秒，期吻合于玑衡”，其目的则是“采众说之所长，羽翼大统，
广其未备”。
《黄钟历议》共有36篇，其中前12篇主要论述音律与历法的关系，后
24篇则论述历法的各种问题，并对地理纬度测量新法进行了探讨。
在编撰圣寿万年历的过程中，朱载堉又进行了许多天文历法的研究工
作。特别是对冬至时刻和交食的分析测算。冬至时刻的测定，也就是24节气
的测定，它与农业生产有较密切的关系。而交食是最明显的天象之一，其预
报准确与否，是检验历法的最可靠方法。朱载堉对这两个重要问题进行了深
入的研究，其成果就是《万年历备考》中收载的《诸历冬至考》、《二至晷
景考》和《古今交食考》等3篇专题论文。
朱载堉深知历法“欲求精密，则须依凭象器测验天文，积日累月，务得
其实，而后缀以算术，立为定法，方可成一代之懿制，传之万世而无弊也”。
可是，朱载堉所面临的现实却是“仪表之具，生来目所未睹，况能知其距度
之疏密，展次之广狭乎”。这无疑限制了朱载堉天文才能的施展。虽然如此，
朱载堉还是作了力所能及的努力，他动手制作了一些小型的天文仪具，设计
了新的测量方法，取得了很好的结果。朱载堉的天文历法工作不只在于历法
的编撰本身，还在于他吸取了先辈天文历法家许多宝贵的思想和成果，并加
以发扬光大，不但给当时处于凋零枯萎的天文历法界注入了生机，也为后世
天文历法的发展开拓了道路。
五、数学研究
由于朱载堉要确定律管的内外周、内外径、横截面和容积，圆周率取何
种数值，是一个很重要的问题。朱载堉在 《律吕精义》中叙述了“新法密率
算术周径冥积相求”之法，在这里，设径为d，周为I，面积为S，按照朱载
堉的说法，则径求周为：
40 d2 / 2
I =
9
周求径为：
2
9I
… Page 12…
的径率即圆周率，其值为
40
π= = 3。1426968
92 ＋ 92
他把这个数值称之为“周公密率”。
由此看出，朱载堉的“周公密率”远不如祖冲之推算出的圆周率精确。
因此，他的关于律管的圆周、面积和容积的计算值也就有误差。可是，在实
际使用上，在以寸为单位测量时，毫位数（小数点下三位数）已是估计值了。
因此，朱载堉的圆周率数值并不影响他制造发音准确的律管。
朱载堉在数学研究过程中，使用算盘完成了包括开方在内的大量计算。
数学与算盘是他从事乐律研究的翅膀。他完成十二平均律之时，也就是他运
用算盘进行开方运算成功之日。
一尺为九寸，一寸为九分，称为九进尺。这种尺，一尺中共81分。在朱
载堉的《乐律全书》中称它为“纵黍律尺”。据传说，古代人以黍粒纵排81
粒，刚好为一乐律尺。一尺为十寸，一寸为十分，称为十进尺。这种尺，一
尺中共有100分。在朱载堉的《乐律全书》中称它为“横黍度尺”。因为它
是以黍粒横排百粒，其长度刚好与日常用尺相同。传说，在先秦时期，日常
用尺与乐尺相等长度。也就是，一纵黍律尺等于一横黍度尺，这两种尺的长
度相同而进位不同。
《乐律全书》中指出了三种不同进位尺：横黍尺即平常十进尺；纵黍尺
即九进尺，斜黍尺即混合进位尺。它是以斜排黍粒90粒而得到的一种尺，称
为“斜黍九十分尺”。它的尺单位长度与横黍尺、纵黍尺相等，但尺以下各
单位为每尺九寸，每寸十分。朱载堉在这里的数学贡献是用算盘完成了九进
制和十进制的小数换算，在数学史上是一项开创性的工作。
朱载堉的最后一项数学工作是他找到了计算等比数列的方法，并成功地
将它应用于求解十二平均律。这一点在数学史和律学史上都是有意义的。朱
载堉在《律学新说》和《律吕精义》两书中是采用一种数学表达方式来叙述
十二平均律的，这就是：将八度音程比值2进行12次方根运算，第12次方
根值即是十二平均律的半音音程；既求得半音音程，那么，只要将起始音音
高除以半音音程值，连续作这样的12次运算，就得到了十二平均律的各个音
高值。实际上，这就是在八度中构成等比数列的方法。
六、物理学
在声学方面，朱载堉对乐器的共振现象作了细致的分析。在今天看来，
二个音的振动频率成整数比或简单分数比，就可以发生共振，在音乐学上，
就能产生悦耳的和声效果。在朱载堉看来，成整数比的二个音称为“正合”，
成简单分数比的二个音称为“旁合”，并且说，“旁合为和，正合为同”。
“正合”也称为“应”，“弹宫宫应，弹徵徵应，日应；弹宫徵和，弹徽商
和，日和。”他又说，“凡丝弦之属，宫与宫协为正合 （商以下做此）；宫
与徵协为旁和（商与羽协，羽与角协做此）。正合为同，旁合为协。”“筝
弦隔六为正合，隔三隔四为旁合”。
在瑟中，他又详细举了撮八 （又称隔八）为正合，而上生撮四、下生撮
五为旁合。例如，瑟第1与第8弦，第15与第22弦皆为宫音，第2与9，
第16与第23弦，皆为商音；第3与10，第17与24弦皆为角音；第4与11，
… Page 13…
第18与25弦皆为变徵音；第5与12，第19弦皆为徵音；第6与13，第20
弦皆为羽音；第7与14，第21弦皆为变宫音。这些弦都是撮八正合音。这
些音是纯八度相合。由弦线较长的音生弦线较短的音为下生，即由低音生高
音，如宫与徵，商与羽，角与变宫等为旁合，亦即撮五旁合，反之为上生，
则是撮四旁合，如变宫与变徵，羽与角，徵与商等。这些音是纯五度相和。
这些发音分析，在音乐物理学上又称为谐和分析，也是和声学中的基本内容
之一。在音乐实践中，朱载堉吸取了民间笙师的经验，利用复音乐器笙的几
个和声管来验证律管和其它乐器的发声，作了极好的和声实验。
为了要测定准确的黄钟律管，朱载堉认为，不能以黍粒决定它的容积，
而改用水银。因此，他相当准确地测定了水银密度。他所测定的水银密度与
3
现代测定的水银密度比较，当0℃时，误差为＋0。2672克/厘米 。当20℃时，
3 3
误差为＋0。3165克/厘米 。平均误差为0。2912克/厘米 ，近似于0。3克/厘
3
米 。其精确性令人惊讶。
朱载堉的又一个物理学工作是测定了地磁偏角。在世界上最早发现地磁
偏角的是宋代沈括，但他没有具体记下偏斜角度及地理位置。朱载堉用“正
方案”对地磁偏角作了具体的测定。所谓“正方案”，它是由郭守敬发明的
一种利用桌影来测定南北方向的仪器。桌置于该仪器平板的中心，以此中心
为圆心画有同心圆若干。同心圆可按需要画上刻度，如朱载堉将圆分为百刻。
当南北方向测定后，指南针的方向与南北方向的夹角即是磁偏角。根据朱载
堉的测量，其地磁偏角为
1
1
3
×360°= 4。8°= 4 °48 ′
100
朱载堉是在1567—1581年间在北京测得的这个磁偏角。也就是说，在那
个时候北京的磁偏斜为偏离地理南北方向朝东4度48分。
七、音乐的艺术实践
王国维讲治学的三种境界，其第一境界用宋代词人辛弃疾的话“昨夜西
风凋碧树，独上高