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顾。
律学也称音律学或乐律学，这是声学的一个分支学科，是研究发声体发
音高低比率的规律和法则的一门学问。因此，自从有了音律规范就有了律学。
在我国古代音乐史上有三种律制：三分损益律，纯律和平均律。
三分损益律是在中国音乐史上应用最广泛、理论发展最完备的律制。三
分损益法是这样来决定各律数值的：将第一个音、即起始音的弦长分为三份，
去其一份为之损，加上一份为之益。在数学上，去其一份即将起始音弦长乘
以2/3，加一份即将起始音弦长乘以4/3；以起始音的弦长乘以2/3，得到次
律；再将次律乘以4/3，又得次一律；再乘2/3，……依次乘十二次，就可以
完成一个八度中的十二个律的数值计算。由三分损益法计算得到的各律，称
为三分损益律。因为三分损益律是乘以2/3，或4/3，而2/3即上生五度，4/3
即下生五度，所以三分损益法也就是西方所谓的五度相生法，三分损益律也
就是五度相生律，或简称五度律。
纯律，在中国古代并无理论，但有充分的实践应用。古代的陶埙，由于
模拟自然界中具有纯律倾向。先秦的编钟，在采用三分损益律的同时，也有
许多音程倾向于纯律，特别是在强调运用泛音微位的古琴中，纯律音程得到
充分应用。
但是，三分损益律与纯律都是不平均律。它们不能旋宫转调。这是因为，
依照它们的定律法得出的十二个音，音程大小不一。若要把它们应用到固定
音高的乐器上，并想在这种乐器中得到十二个高度不同的调，几乎是不可能
的。这些具有固定音高的乐器只能适用于和它们具有相同音程的音阶，只能
奏出某种调式。演唱者若有变调要求，乐器也要立即随之更换。音乐艺术的
发展，要求人们对音律加以调整和改造。为了达到旋宫转调的愿望，对平均
律的实践与理论探求，就一直成为人们心目中的奋斗目标。
汉代，著名易学家京房是追求平均律理想的先驱，他对“周而复始、旋
相为宫”的问题进行了探索。为了达到使黄钟起始律“回归本律”的目的，
京房在按“三分损益”的传统方法生律十一次后继续生律，直到六十律。京
房“六十律”所采用的是八度内音律制减少始末律间律差的方法。
以后，南北朝何承天为解决京房“六十律”对遗留的一个“微小音差”，
作了进一步研究，提出了新律制，即将三分损益律的古代音差平均分为十二
份，然后将这平均数 （0。01）累加到十二个律上，使十二律在差部分形成一
个等差数列。这样，他在长度计算音律方面实现了旋宫的愿望，其效果很接
近十二平均律，一般人的听觉几乎不能辨别其间的差别。但它仍然不是真正
的十二平均律。因为十二平均律是一种等比律，而何承天的新律只是在特定
长度内的等差律。
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在何承天之后，隋代的刘焯打破了三分损益的传统，他以系数 n构成
7
振动体长度的等差数列，企图以此达到旋宫的目的。实际上，刘焯不仅不能
旋宫，而且十二律的音高也混乱了。虽然如此，他大胆地违背三分损益的定
律法却是个创举，他为后人创建平均律提供了一个可贵的失败的例子：以等
差数列的方法不能完成平均律。
五代时，律学家王朴也曾从“加减进退”的方法来缓解十二律不能“周
而复始”的矛盾；宋代蔡元定也提出“十八律”来求得黄钟“回归本律”。
在平均律的探索史中，我们要特别提出这样一种思考方式：三分损益法，
即2/3，4/3，人们可以将这二个分数改写为50/75，100/75；或者500/750，
1000/750，因为它们都是等效的。但是，如果将后两个分数中的分母作适当
的调整，即将其分母减去1，使之成为500/749，1000/749。这样一来，三分
损益律就倾向于平均律了。我们暂且把这种定律法称之为“749定律法”。
《淮南子·天文训》中定黄钟数81，计算中取整数值，它所计算得到的十二
数值与三分损益法稍有不同。朱载堉对此作了详细验证，其结果是，《淮南
子》或者采用了4舍5入的简便方法，或者采用了“749定律法”。因此，
朱载堉指出，平均律的定律思想，“非自古所未有，疑古有之，失其传也”。
这一有关平均律的起源问题，是朱载堉最早发现的。
朱载堉没有遵循“749定律法”这条思维线路而创建十二平均律，而是
打破了传统的律学思维和方法，提出了新的数理概念和计算法，创立了“新
法密率”——一十二平均律这一划时代的律学理论，解答了千年来的律学命
题，不仅给中国古代律学史的终端画下了一个圆满的句号，而且也为世界音
律学理论开创了一个新篇章。
朱载堉创建新法密率时，提出了音与数的辩证关系，认为音与数要相吻
合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他不用三分损益法提出了理论根
据。
朱载堉十二平均律理论的创立是合理的和必要的。一方面，由于“平均
律”命题的发生和近千年来不断地追求和探索，反映了古代律学家的强烈愿
望，对它的解答是必然的；另一方面，在中国封建社会晚期的明清两朝，学
术界通过表面的复古形式，对大量的古代经典进行整理、鉴别和考证，引起
了对传统文化的怀疑、批判和再认识。朱载堉对传统律学的重新认识、理解
和总结，以及进一步批判和扬弃以往律学从未摆脱“三分损益”生律法来追
求“平均律”的思维方式，正是在这样的历史背景下萌发起来的。
关于新法密率，朱载堉在《律吕精义》中清楚地写道：度量长度的标准
尺是起源于黄钟律的长度，因此黄钟正律的长度，也就是长度标准的一尺。
2
设一尺的平方（100寸 ）为黄钟正律的冥数，那么，如果依勾股定律，以勾
2 2
10寸自乘，得100寸 为勾冥，以股10寸自乘，得100寸 为股冥。将勾股
2
二者冥数相加，得弦冥为200寸 。这样一来：
2 2
10
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该值为南吕倍律的数值。再将南吕倍律之值乘以勾10寸，乘股10寸，得三
次乘积 （即立方积）数值；然后将立方积开立方，得：
3 4 12
10×10×10 2 = 10 2 = 1。059463 （尺）
该值为应钟倍律的数值。十二律黄钟为始，应钟为终，周而复始，循环不止。
这是自然真理，就像 《易经》八封中的贞后元生、坤尽复来一样。因此，如
果要计算十二律中某律的数值，只要以比某律高一律的数值乘以黄钟正律10
寸，再除以应钟倍律数10。59463……寸，就可以得到某律。其它各律依此类
推。那里会有往而不返，不旋宫的道理呢！
朱载堉将表示八度音程的弦长比2开平方、又开平方、再开立方，得到
了2的12次方根的数值1。059463……。这个值就是通常所说的半音，我国
传统说法称之为应钟律数。然后，朱载堉将八度值2连续除以应钟值，累除
十二次，就得到了相应的平均律中八度内十二个音的音高。因为朱载堉将八
12 12
度值2累除以 2 （应钟值），因此，这个平均律实际上就是以 2为公比数的
等比数列。朱载堉将这个公比数称之为“密率”。现在，我们将朱载堉“新
法密率”的详细计算结果列于下表中。
朱载堉的十