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在，圣人尊之”。
庄子的这种思想无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的，甚至老、
庄的自然观还能成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器，譬如他说：“由技
兼于事者言之，夷 （黄帝臣名）、虁（舜臣名）之乐，亦不免为一技；由技
进乎道者言之，石 （古工匠名）之斤，扁（古工匠名）之轮，非圣人之所与
乎？”
李冶这段话的意思是：从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可以
看作是一种技艺；从技艺中包含有自然规律 （即“道”）来说，工匠使用的
工具也是圣人所赞赏的。从李冶的这段话再联系庄子上述的说法，他受庄子
思想的影响是一目了然的。很明显，他的真实想法是认为数学这种技艺也是
“道之所在”，也应该受到尊重。
李冶还认为，数虽然奥妙无穷，却是可以认识的，他说：
“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，
固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也”。
李冶的这种思想，也可以从老、庄学说找到渊源。如庄子说：“夫昭昭
生于冥冥，有伦生于无形。”
老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，
夫莫之命而常自然”。
李冶正是由于对自然的深刻理解，才能进一步指出：“数一出于自然，
吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦未如之何也已。苟能推自然之理，以明自
然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”
李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强
的科学研究。他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣
食而奔波。他却以著书为乐，从不间断自己的工作。
李冶有一个学生叫焦养直，后来做到集贤大学士，他回忆他的老师说：
“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，
“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。另外，他还善于去粗取精，批
判地接受前人知识，正如他自己所说的那样：“学有三，积之之多不若取之
之精，取之之精不若得之之深。”
李冶这些优良品质，都是他在学术上取得杰出成就的重要原因。
李冶所处的封建社会中，数学不受重视，但是他却执着地追求真理，他
在《测圆海镜》序中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我
者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”
李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱。
公元1279年，李冶卒于河北元氏，享年88岁，谥号为文正。
后人盛赞李冶：“导掖其秀民，仁之者也。其徒卒昌于时，孰不曰文正
公所作成也。”
李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深
深怀念着。
焦养直，就是“其徒卒昌于时”中的一个。
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焦养直字无咎，东昌堂邑 （今山东聊城县西北）人，李冶的学生，素以
才器见称。
公元1281年，元世祖把符宝郎改为典瑞监，想找一个有学问的儒生担任
这个职务。有个近臣向元世祖推荐了焦养直，元世祖即命令马上召见，召见
以后，元世祖觉得很满意，就以焦养直的原官真定路（今河北正定）儒学教
授超拜为典瑞少监。
公元1287年，焦养直跟从元世祖征讨乃颜部。
公元1291年，元世祖赐给焦养直宅一区。让焦养直到他的内室入侍。焦
养直向元世祖陈说古代帝王的统治，元世祖听了，经常把疲倦都忘了。焦养
直曾经向元世祖讲到汉高祖刘邦，以平常百姓起家，讲述刘邦的旧闻，分析
得头头是道，元世祖采纳了他的建议，从此也不再看不起汉高祖了。
公元1297年，元成宗铁穆耳到柳林（在今北京市通县南，是元帝游畋的
所在，建有行宫），命焦养直向他进讲《资治通鉴》。焦养直借这个机会向
元成宗讲述规谏之言，元成宗下诏赐给他御酒和钞（纸币）17500贯。
公元1298年，元成宗又赐给焦养直金带，象笏（象牙做的“笔记牌”）。
公元1299年，焦养直升为集贤侍讲学士，元成宗还赐给他通犀带。
公元1303年，元成宗下诏要焦养直到东宫做太子的老师，由于焦养直能
够尽心尽力地启发教育太子，元成宗知道后，非常高兴。
公元1304年，焦养直代元成宗到南海祭祀。
公元1305年，焦养直又被进为集贤学士。
公元1307年，焦养直被升为太子渝德。
公元1308年，焦养直被授为集贤大学士，可以参与国家大政的谋议。告
老回乡后去世，赠资德大夫、河南等处行中书省右丞荣衔，谥为文清。
李冶死后不久，天元术理论便经过二元术、三元术，迅速发展为朱世杰
的四元术，李冶天元术这棵参天大树，在第二代数学家的培育下，结出了四
元术的累累硕果。
从二元术、三元术到朱世杰的四元术，其间的发展线索，我们从祖颐为
朱世杰《四元玉鉴》所写的《后序》里，可以窥见一斑，祖颐说；“平阳（今
山西临汾市）李德载因撰《两仪群英集臻》兼有地元，霍山（在今山西霍县
东南）邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》末仅有人元二问。吾友燕
山朱汉卿先生演数有年，探三才之颐，索《九章》之隐，按天地人物成立四
元……。”
朱世杰，字汉卿，号松庭，生活于公元13—14世纪，北京附近人，是元
代著名数学家。
朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古军灭金之后。
上面所述的这段祖颐的序文，叙述了朱世杰学术上的师承关系。毫无疑
问，他较好地继承了当时北方数学的主要成就。当时的北方，正处于天元术
逐渐发展成为二元、三元术的重要时期，正是朱世杰把这一代成就拓展为四
元术。
朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数学
成就——各种日用、商用数学和口诀、歌诀等。
在祖颐的《四元玉鉴后序》中有这样的话：“汉卿……周流四方，复游
广陵 （今江苏扬州市），踵门而学者云集”。
在莫若的序中也有：“燕山松庭朱生以数学名家周游湖海二十余年矣”。
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从这两段话中我们分析，本来，在元灭南宋之前，南北之间的数学交流
是比较少的。朱世杰“周流四方，复游广陵”，应是在1276年元军对南宋的
大规模军事行动结束之后。朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299
年和 1303年在扬州刊刻了他的两部数学著作——《算学启蒙》和《四元玉
鉴》。
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八、天元术的硕果
清代数学家罗士琳 （1774—1853）在他的《畴人传·续编·朱世杰条》
中评论朱世杰的数学成就时说：
“汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道
古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，
神而明之，尤超越乎秦李之上”。
清代另一位数学家王鉴在他的《算学启蒙述义·自序》中也说：“朱松
庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”。
由上述二人的这两条评论来看，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学
发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古
代数学发展的顶峰。
《四元玉鉴》可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著，全书
共分3卷，24门，288问。书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，
其中：
四元的问题（需设立四个未知数者）有7问（“四象朝元”6问，“假
令四草”1问）；
三元的 13问（“�