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割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上
小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即
句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之
四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小
股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。
开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一
尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除
之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。
割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次
上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句
幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除
之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺
乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，
得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六
觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，
即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，
得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十
二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，
得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五
十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。
案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其
中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五
十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律
嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六
百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微
少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此
分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸
之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得
五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方
幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺
二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五
十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，
上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，
数亦宜然，重其验耳。
淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。
用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面，
自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓，
今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使
锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之
径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆
一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。
径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张
其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以
其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于
徽术之下，冀学者知所裁焉。〕
又术曰：周、径相乘，四而一。
〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘
为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十
七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径
以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之
于微多。
淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一，
即周。依术求之，即得。〕
又术曰：径自相乘，三之，四而一。
〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令
六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一
百五十七乘之，二百而一。
淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕
又术曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者
九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自
乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若
欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自
乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三
百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千
三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。
淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、
一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何
者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、
六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕
今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步
四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。
〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股，
下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺，
即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与
圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。
故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥
同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，
犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说
圆方诸率甚备，可以验此。〕
今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答
曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，
则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘
矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法
当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚
之幂，亦