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特殊的函数如“三角函数”、“对数函数”和“代数函数”等
都综合为一个概念——“任何函数”。太广泛的综合就会毫无
结果。唯有用一种巧妙的特殊性来限制广泛的综合，才能成
为有效果的概念。例如任何·连·续函数的概念都引入了连续性
有限制的概念，因而便是富于效果的概念，并且已经得到了
许多极重要的应用。当时兴起的代数分析正好和笛卡儿发现
解析几何以及牛顿与莱布尼兹发现微积分同时。诚然，毕达
哥拉斯如果预先看到了他所创始的思绪的结果，一定会认为
他的兄弟会和会里所热衷的神秘仪式是完全有理由的。
我现在要说明的一点是：函变数观念在数学的抽象领域
中这样流行，反映在自然秩序中便是用数学表达出来的自然
规律。要是没有这种数学的进步，１７世纪的科学发展便是不
可能的。数学为科学家对自然的观察提供了想象力的背景。伽
利略、笛卡儿、惠根斯和牛顿等人都创造了许多公式。
如果要举一个特殊的例子来说明数学的抽象发展对当时
科学的影响，那么不妨看看周期性这一概念吧。在我们的日
常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。日子、月相、一
年的四季、心跳、呼吸等都重复出现，绕行的星球也重复回
到自己的老位置上去。我们在各方面都看到有重复现象发生。
没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任
何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性
的重复现象，也不可能有度量。当我们获得了这一“精确”观
念后，重复现象在我们的经验中便成了基本的东西。
在１６、１７世纪时，周期性的理论在科学中占了主要地位。
凯普勒发现了一条定律，可以把各种行星轨道的长轴和各行
星循着自己的轨道环行时的周期联系起来；伽利略观察了摆
的振动周期；牛顿认为声音是由稀密相间的周期性波动通过
空气时所发生的扰动而形成的；惠根斯认为光线是由精微的
以太的横振动波而形成的。麦西尼把提琴弦的振动周期和它
的密度、张力以及长度联系起来。现代物理的诞生必须依靠
周期性的抽象概念在许多实例上的应用。但假若不是数学首
先用抽象的方式把环绕着周期性这一概念的各种抽象观念全
推演出来了，这事是不可能办到的。三角学刚兴起时是研究
直角三角形两锐角跟勾股弦的比率之间的关系。接着，在数
学中新发现的函数分析的影响下，又扩大为体现这种比率的
纯粹抽象的周期函数的研究。因此三角便完全变成抽象的研
究了，而且正是由于变成了抽象的研究，所以就有用处了。它
说明了各种完全不同的物理学现象中所潜存着的相同关系。
同时也提供了一种武器，使任何一套物理学现象都可以把自
身的各种性状加以分析，然后连系起来①。
从以往的事实看来，数学往更极端的抽象思维的高超领
域上升得愈高，日后再回到下面来时对具体事物的分析就愈
加重要，这一点是再清楚不过了。１７世纪的科学史读来，仿
佛是柏拉图和毕达哥拉斯一些历历如目前的梦境。从这方面
说来，１７世纪仅仅是后继者的开路先锋而已。
最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武
器，这一个似非而是的说法现在已经完全肯定了。由于１７世
纪时数学家盛极一时，１８世纪的思想便也是数学性的，尤其
是法国的影响占优势的地方更是如此。但英国从洛克开始的
经验主义却是一个例外。在法国以外的国家里，牛顿对哲学
的直接影响表现在康德身上最为明显，在休谟身上倒并不如
此。
１９世纪时，数学的一般影响减弱了。文学上的浪漫主义
运动和哲学上的唯心主义运动都不是从数学家开始的。甚至
在科学领域里的地质学、动物学和一般生物科学的发展都完
全与数学无关。这一世纪科学上最惊人的成就便是达尔文的
进化论。因此，按照这个世纪一般的思想状况说来，数学远
远地退居到后面去了。这倒不是说数学被忽视了。甚至也不
是说数学没有发生影响。１９世纪纯数学的进步几乎等于从毕
达哥拉斯以来所有各世纪的总和。当然，由于技术日趋完善，
进步是比较快的。我们纵使是承认这一点，但数学从１８００到
１９００年这一段时期中的变化仍然是惊人的。如果我们把前一
百年也数上，看一看现代以前两百年的情形，我们也许会认
为数学是在１７世纪的最后２５年间奠定基础的。发现基本要
素的时期可以说是从毕达哥拉斯起一直到笛卡儿、牛顿和莱
布尼兹这个时期，但发展成熟的科学则是在最近２５０年才出
现的。这并不是在夸耀近代天才的高超，因为发现基本要素
本来比发展科学要困难得多。
在１９世纪的整个时期中，数学的影响在于它对动力学和
物理学的影响，然后又发展到工程和化学。数学通过这些科
学对人生的影响之大是难以估量的。但它对当时的一般思想
却没有直接的影响。
上面是数学在全部欧洲历史中的影响的简述，回想一下
这一简述就能看出数学曾在两个伟大时代对一般思想发生的
直接影响。这两个时代全部大约延续了２００年之久。第一个
时代是从毕达哥拉斯到柏拉图的时期，那时创立数学的可能
性和数学的一般性质破天荒第一次在希腊思想家心中萌芽
了。第二个时代包括现代的１７、１８两个世纪。这两个时代具
有某些共同点。在前后两个时代中，与人类有关的许多领域
里的一般思想范畴都瓦解了。在毕达哥拉斯时代，一般人不
知不觉地接受的异教文化具有美妙的仪式和魔术的法事作为
传统的外衣；那时异教文明在两方面影响下进入了一个新的
阶段。一方面有许多宗教热忱的浪潮，在为奥妙的事物寻求
直接的启示。但在另一个极端上却产生了一种批判的分析思
想，以冷静的头脑探究事物的终极意义。这两种影响的结果
虽然完全是背道而驰的，但却有一个共同的因素，也就是唤
醒了一股好奇心，和一股重建传统方式的运动。这种异教的
神秘可以比之于后一时期清教徒和天主教的反作用。在两个
世纪中批判的科学思想除了实际意义上略有区别而外，其他
的方面是相同的。
两个时代的早期都是繁荣景象兴起，新的前景蓬勃展开
的时期，在这一点上和公元第二、三世纪基督教征服罗马帝
国世界那种衰落的时代不同。唯有在幸运的时代里，一方面
能摆脱环境的压迫，另一方面又具有强烈的好奇心，时代精
神才能重新评价那些隐藏在实际概念后面的极终抽象概念。
一个时代的严肃思维就是从这些实际概念出发的。唯有在难
逢的世纪中才能完成这种事情，从而使数学和哲学发生关系。
因为数学是人类头脑所能达到的最完美的抽象境界。
这两个时代的类似之处也不能说得太过火。现代世界比
古代地中海沿岸的世界更大而且更复杂。甚至和遣送哥伦布
与开辟美州的清教徒渡过大西洋的欧洲比起来也是如此。我
们这个时代已经无法用一个盛行一时然后又搁置上千年的简
单公式来解释了。因此，从卢梭以来，数学思维的暂时沉寂
状态似乎已近尾声了。我们已经进入一个宗教、科学与政治
思想的改造时代。这样的时代如果不愿单纯懵懵懂懂地在两
极端之间摇摆的话，就必须在事物的极终深处寻求真理。但
除非有充分说明这种极终的抽象思维的哲学，并以数学来说
明各思维之间的关系，否则这种深奥的真理是无法洞察的。
为了确切地说明数学在现代的普遍重要性正在怎样地增
长，我们不妨从科学上的某一个令人迷惑莫解的事实出发，看
看我们在试图解决其中的困难时，必然会被引导到什么样的
观念上去。目前物理学正在量子论上感到为难。如果读者有
人还不清楚这理论究竟是什么的话，我在这儿暂不多谈①。主
要是说明这理论中最有希望的解释是，先假定电子不是连续
地渡过其空间中的道路。有一个不