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差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且
在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能
发生的。接着，第二个过程是，确实肯定一下，这个推论所
预先假定的抽象条件是否可以成立。这就是把数学推论开始
的抽象前提确定一下。这一过程是相当困难的。以往曾经发
生过极其显然的疏忽，而且这些竟被许多最伟大的数学家历
代相沿地接受下来了。这里面最大的危险就是疏忽；也就是
说，在不知不觉之间引入某些我们认为自然应当事先设定的
条件，然而事实上这些条件却不一定都能成立。在这一方面
还存在着一个相反的疏忽，这种疏忽倒不会造成错误，只是
会使推理复杂化。也就是说，必要的假设条件很容易被估计
得多于实际的要求。换句话说，我们可能认为某些抽象的假
设是必要的，但实际上却可以从其他已有的假设上证明出来。
抽象的假设提得过多，唯一的效果就是使我们在数学推理中
减少审美方面的乐趣，并且会给第三个评述过程造成麻烦。
第三个评述过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊事
例中是否能成立。一切的麻烦都是从这个验证特殊事例的过
程中产生的。在数４０个苹果这种简单的事例中，只要稍加留
心就可以在实际上达到肯定的程度。但一般说来，在十分复
杂的事例上就不可能达到完全肯定的程度。为这一问题而写
的书籍简直是汗牛充栋。但这是对立的哲学家交锋的战场。这
里面牵涉到两个不同的问题。一方面是我们已经观察到了某
些确定的东西，同时我们又要确实弄明白这些东西之间的关
系的确服从于某些固定的严格抽象条件。这儿发生错误的可
能性就非常大了。一切严格的科学观察法都只是一些措施，为
的是减少这些关于直接事实的错误。但这儿又产生了另一个
问题：被直接观察到的事物几乎永远只是一些例子。我们所
要作的结论是：某些抽象条件如果在例证中能成立，那么在
其他一切由于某种理由而被认为是属于同一类型的实有中也
都能成立。这种由例证而推论及全体的推理过程就叫归纳法。
归纳法的理论是哲学上无法处理的东西，然而我们的一切行
为又都以这种理论为基础。总而言之，当我们评述一件特殊
实际事物的数学结论时，真正的困难在于找出被牵涉到的抽
象假设，并对它能否适用于当前的特殊事例的证据加以估价。
因此，我们常常看到，在评述一部造诣极深的应用数学
书籍或一篇论文时，一切的麻烦就在于第一章上，甚至于就
在第一页上。因为正是在这个刚一开始的地方，作者很可能
在假设上有失误。同时，麻烦还不在于作者说了一些什么，而
在于他没有说的是什么；不在于他明确了的假设，而在于他
不知不觉地作出的假设。我们并不怀疑作者的诚实，这里所
批评的是他自作聪明的地方。每一代人都批评上一代所作的
非意识的假设。人们也可能同意这种假设，但却不能让它停
留在非意识阶段，而要把它揭示出来。
语言发展史可以说明这一问题。这种历史是观念分析不
断进展的历史。拉丁文和希腊文都是有字尾变化的语言。这
就是说，他们表达一丛未加分析的观念时只要把字尾变一下
格就行了。但拿英文来说，我们便要用前置词和助动词来表
明整个的意义。把辅助的意义硬塞进主要的词句中去虽不见
得对所有的文学体裁都方便，但对某些体裁却可能是一个方
便。不过，就表达明了这一方面说来，英语这种语言却是高
得不可比拟的。明了程度的加强就是把语句涵义中的复杂观
念所牵涉的各种抽象概念更完整地表达出来。
拿语言的情形作了一个比较，就可以看出纯数学所达到
的思想功能是什么。这是完全走向完整的分析的有效步骤，这
样做为的是把单纯的事物和这种事物所体现的纯抽象条件分
开来。
这种分析的习惯启发了人类脑筋的每一种功能。它首先
通过分离的方法，强调从审美观点出发直接体察经验的内容。
这种直接体察是理解经验本身就其固有的特质（包括它的直
接实际价值在内）说来，究竟是什么。这是属于直接经验方
面的问题，必须依靠精微的感觉。然后便是把有关的特殊实
有抽象化的问题，也就是把这些实有和它被了解时所处的特
殊经验状况分离开来，从而理解它的本身。最后还要进一步
理解这些经验中的实有之间的特殊关系所能满足的绝对普遍
条件。这些条件之所以具有普遍性，是因为它们可以不涉及
某种特殊经验中所发生的某些特殊关系或特殊状态，单靠本
身就能表示出来。这些条件可以适用于牵涉其他实有和其他
相互关系的无数事态。因此，这些条件是完全普遍的，因为
它们不涉及任何特殊事态或在不同事态下存在的任何特殊实
有（如绿、红、树等），也不牵涉这些实有之间的关系。
然而数学的普遍性却可以划出一个极限，这一限制对所
有的普遍叙述都能适用。任何疏远的事态如果和直接的事态
没有关系，因而不能形成该直接事态的要素中一个组成部分
的话，那么对这种事态除开一种叙述以外就无法提出任何其
他叙述了。我们说的直接事态就是把该问题中的个人判断活
动当成一个组成部分的事态，而唯一能作出的叙述则是：“如
果任何东西处于关系之外，则对它将无所知”。这儿所说的
“无所知”是指“·完·全·不·知·道”。因之，不论是在实践中或任
何情况下，关于如何看待它或处理它的问题都无法提出意见。
我们要知道疏远事态中的一些东西，就必须通过一种认识，这
种认识本身就是直接事态的组成部分，否则我们就一无所知。
因此，在各种经验下显示出来的全部宇宙，其中的全部细节
都和直接事态具有一定的关系。数学的普遍性是最完整的普
遍性，它和构成我们的形而上学世界的各种事态都能符合。
还有一点应当注意的是，特殊的实有在进入任何事态时
都必须具有这种一般条件。但许多不同类型的实有也许会要
求同一种的一般条件。一般条件超越于任何一套特殊实有之
上——这就是“变数”这个概念进入数学和数理逻辑的理由。
正是由于运用了“变数”的概念，考察一般条件时才可以不
要任何特殊实有来说明。特殊实有的这种不相关性并没有为
一般人所理解。例如实际经验中的“圆性”、“球形性”、“立
体性”等等形态的性质在几何推理中并没有地位。
运用逻辑推理时所涉及的完全是这种绝对普遍的条件从
最广泛的意义上来说，发现数学就是发现这些抽象条件的全
部情况。它们都可以同样运用于一切实有在任何实际状况下
所发生的关系，而且彼此之间用一定的模式互相联系起来，其
中还具有一种启开全局的锁钥。普遍抽象条件之间所存在的
这种关系模式无分轩轾地存在于所有的外界实有之上。同时
也普遍存在于我们对外界实有所作的抽象表达之上。这一情
形是通过下一普遍的必然性形成的；即每一事物都必然不多
不少正好形成它的自身，并且以它自身特有的方式区别于其
他任何事物。这就是抽象逻辑的必然性，而这种必然性就是
每一种直接经验事态所显示的关联存在这一事实必然假定的
前提。
打开关系模式的锁钥所指的情况是这样：普遍条件中被
选定的某一套条件在某一事态下体现后，如果想要求得体现
在同一事态下然而又涉及该条件的无限变种的模式，就可以
纯粹运用抽象逻辑来推演。任何这类被选定的条件就叫一套
假设或前提，推理就是从这种假设或前提下开始的。如果把
这一套选定的假设推演出它的模式来，然后再把这一模式中
所包括的普遍条件的全部模式表达出来，便是所说的推理过
程了。（。电子书。整*理*提*供）
推演出假设中所包含的完整模式来的逻辑推理的谐和是
一种最普遍的审美性质。这种性质仅是从一个事态的统一体
中所包含