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抽象方式能在很广的范围内获得成功，我们就很难超脱它。另
一种方法是把各种稳固地建立在经验的基础之上的抽象方式
加以比较。这种比较法的形式可以满足保罗·萨比所提到的
意大利经院派神职人员的要求。他要求运用理性。理性的信
念就是相信事物的终极本质是聚集于一种没有任何武断情形
的谐和状态中。也就是相信我们在事物的后面所找到的将不
仅是一堆武断的神秘物。对自然秩序的信念使科学得以成长
起来，但这只是一种深刻信念中的一个特殊例子。这种信念
不能用归纳的概括加以证明，它是当我们对自身的现存直接
经验中所显示的事物本质作直接观察时产生出来的。这种信
念和我们是血肉相连的。体验这一信念时就会发现以下几点：
（１）我们作为自身而存在的时候不仅是我们自身而已。（２）我
们的经验虽然不明确和零碎，但却说明了现实最奥妙的深处，
（３）事物的细节仅只是为了要恢复它们的本来面目就必须放
在整个事物的系统中一起观察，（４）这种事物体系包含着逻
辑理性的谐和与审美学成就的谐和，（５）逻辑谐和在宇宙中
是作为一种无可变易的必然性而存在的，但审美的谐和则在
宇宙间作为一种生动的理想而存在着，并把宇宙走向更细腻、
更微妙的事物所经历的残缺过程熔合起来。
第二章 作为思想史要素之一的数学
纯粹数学这门科学在近代的发展可以说是人类性灵最富
于创造性的产物。另外还有一个可以和它争这一席地位的就
是音乐。一切争雄问题我们都可以略而不谈，而要考察一下
我们有什么理由承认数学应占有这个地位。数学的创造性就
在于事物在这一门科学中显示出一种关系，这种关系不通过
人类理性的作用，便极不容易看出来。因此，所有能够直接
从感官感觉中得到的概念，除开现存数学知识所引起和引导
的知觉以外，其余的都和当代数学家心中所存在的概念风马
牛不相及。
我们不妨回溯到几千年以前，看看当时的人甚至连最伟
大的贤哲的脑筋都是多么简单。某些抽象概念在我们看来也
许一眼就能看清，但他们却认为只能作大概的理解。就拿数
字来当例子吧。我们认为“５”这个数字可以应用到任何适当
的一群实念上去，如５条鱼、５个小孩、５个苹果、５天等。因
此，在考虑数字“５”与数字“３”的关系时，我们所想的便
是两群东西，一群有５个个体，另一群有３个个体。我们决
不会去考虑组成两群的任何个别的实有，甚至也不会去考虑
其中的某一类实有。我们所考虑的两群之间的关系与两群中
任何个体本身的本质完全无关。这便是抽象推理中非常显著
的功绩。人类要达到这一步必然花去了不少的岁月。在漫长
的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的
日子也要作出一个比较。但首先注意到７条鱼和７天之间的
共同点的人必然使思想史进了一大步。他是第一个具有纯数
学观念的人。当时他一定还不可能看出有待发现的抽象数学
观念的复杂性与微妙性，也一定料想不到这些观念会在往后
的每一个世纪中发生广泛的吸引力。学术界有一个错误的传
统，认为对数学的爱好是一种怪癖，每一个时代只有少数的
怪人才有这种怪癖。情形尽管是这样，但抽象思维在古代的
社会里是找不到类似例子的。因此，从这里面所能得到的乐
趣也是难以估计的。第三，数学知识对人类的生活、日常事
务、传统思想以及整个的社会组织等等都将发生巨大的影响，
这一点更是完全出乎早期思想家的意料之外了。甚至一直到
现在，数学作为思想史中的一个要素来说，实际上应占什么
地位，人们的理解也还是摇摆不定的。假如有人说；编著一
部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念，就等于是在
“汉姆雷特”这一剧本中去掉了汉姆雷特这一角色。这种说法
也许太过份了，我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等
于是把奥菲莉这一角色去掉了。这个比喻是非常确切的。奥
菲莉对整个剧情来说，是非常重要的，她非常迷人，同时又
有一点疯疯癫癫。我们不妨认为数学的研究是人类性灵的一
种神圣的疯癫，是对咄咄逼人的世事的一种逃避。
当我们想到数学时，心里便出现一种专门探讨数、量、几
何等等的科学。近代数学还包括许多更抽象的序数概念以及
纯逻辑关系的类似型式的研究等等。数学的特点是：我们在
这里面可以完全摆脱特殊事例，甚至可以摆脱任何一类特殊
的实有。因此并没有只能应用于鱼、石头或颜色的数学真理。
当你研究纯数学时，你便处在完全、绝对的抽象领域里。你
所说的一切不过是：理性坚信任何实有如果具有能满足某某
纯抽象条件的关系，就必然也具有能满足另一件纯抽象条件
的关系。
数学被认为是在完全抽象的领域里活动的科学，它和自
身所研究的任何特殊事例都脱离了关系。这种数学观还不太
明确，所以我们可以相信，一直到现在这种看法还不能为一
般人所了解。举个例来说，一般人在习惯上都认为我们对实
际宇宙空间的几何知识的肯定性所根据的理由就是数学的肯
定性。这一幻觉在过去曾引起过许多哲学思维，到现在也仍
然能引起一些哲学思维。几何问题是一个相当重要的测验。对
于许多群未定的实有说来，有好几套不同的纯抽象条件都可
以成为这些群之间的关系。我把这些条件称为·几·何·条·件。我
们在自身对于自然界的直接感觉中可以观察到事物之间具有
某种几何关系。上述的抽象条件中有某些条件被认为是可以
适用这种特殊几何关系的。而其他各种抽象条件一般说来又
都类似这种条件，因此我便通称之为几何条件。但我们这种
观察还不够准确。所以关于我们在自然界中所见到的事物，究
竟受着什么样的条件控制，也知道得不够确切。但我们只要
把假说稍微引伸一下，就能使这些被观察到的条件符合某一
套完全抽象的几何条件。这类未定实有原先在抽象科学中本
只是一些单纯的叙述。但这样一来，我们就对它作出了某种
特殊的决定。在关于几何关系的纯数学中，如果·任·何一群实
有在本群各单位之间所具有的·任·何关系能满足·某·一套抽象的
几何条件，则某种性质的附加抽象条件一定也能符合这种关
系。但当我们讨论物理空间时，便会说某群被确定地观察到
的物理实有在本群各实有之间具有某种被确定地观察到的关
系，这种关系能满足上述的一套抽象几何条件。因此我们就
作出结论说：如果某种附加关系被认定能符合·任·何这类情形，
就一定能符合·这·一·特·殊·情·形。
数学的肯定性建筑在它完全抽象的一般性上。我们相信
实际世界中被观察到的实有能成为我们普遍推理过程中的一
个特殊事例，但我们并没有先天的肯定性可以认为这种信念
是对的。不妨再举一个算术中的例子来看：纯数学中有一条
普遍的抽象真理，认为任何包含４０个实有的一群可以分为包
含２０个实有的两群。因此我们便有根据认为，如果某堆苹果
包含４０个个体，便可以分成两堆，每堆中包含２０个个体。但
我们把４０个那一堆数错的可能是常有的，所以实际上分的时
候就可能有一堆多一个，另一堆少一个。
因此，当我们评述一种理论时，如果它的基础是把数学
应用在特殊的实际事例上，我们心中便应当把以下三种过程
完全记清楚。首先我们必须细细地检查一下纯数学的推理，验
明它没有漏洞，没有因为偶然疏忽而产生的不合逻辑的地方。
任何数学家都能从本身痛苦的经验中认识到，开始拟定一系
列推理过程时很容易发生一点极微小的错误，后来却因此而
差之毫厘、谬以千里。但当一种数学推论已经检验过，并且
在专家们之前考验过一个时期之后，偶然的错误是不大可能
发生的。接着，第