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埃及地的五分之一，…所积蓄的粮食可以预备埃及地的七个荒年，免得这地被饥荒所灭。」
假设丰年的收成是1，但只要有粮食就会有腐损（被老鼠、虫子、官员吃了），所以假设腐损率为（希腊字母的）δ，δ介于0和1之间。约瑟建议储粮15（= 0。2），所以在丰年时（第1期），埃及可食用的粮食是0。8（= 1 0。2）。他们存下多少粮食给荒年（第2期）时吃呢？存粮s = 0。2 ＇1 δ＇，也就是说，虽然能存下0。2的粮食，但还要扣除被腐损的δ。作者写了4条简单的方程式，做了一些较技术性的假设，我用文字性的说明来替代。
简言之，他要得出两项变数的数值，来回答一个关键问题：荒年时欠收率（x）有多高？要得出x值，他需要两项变量：一是前面说过的腐损率δ，在此假设14年内皆为δ = 0。2；二是法老王的「社会时间偏好率」（social rate of time preference），以希腊字母ρ来表示，ρ也是介于0和1之间。
我先简单说明「时间偏好率」的概念。如果一个国王年轻即位，预知自己会当很久的统治者，他就会从长计议，肯花时间来了解各项问题，也愿投资各项基础建设。这种长治久安型的君主，我们就说他的社会时间偏好率很低（接近0，表示目光长远）。相反地，如果国王征服另一个国家或地区，只想掠夺财富和妇女，没有长期深耕经营的打算，他的社会时间偏好率就很高（接近1，表示短视近利）。好，现在来看Hamermesh的最后一条方程式。
x = 1。2 0。2δ 0。8 ＇1 δ＇ ＇1 ＋ ρ＇
此处的x = 欠收率，1 – x = 收成率，δ = 腐损率，ρ = 社会时间偏好率。他运用这条方程式，计算出下列的各种组合可能性：
各种可能的x（=荒年欠收率）
社会时间偏好率（ρ）
腐损率（δ）
0
0。25
0。50
1。0
0
0。40
0。56
0。67
0。80
0。20
0。52
0。65
0。73
0。84
0。40
0。64
0。74
0。80
0。88
0。60
0。76
0。82
0。87
0。92
0。80
0。88
0。91
0。93
0。96 先从腐损率说起。为了简化，他只取5个数值（垂直看下来），最低值（下限）为0（完全没有腐损），最高值（上限）为0。8。你也可以争论说，若取10个点会更精确，那当然也可以，只要把你认为较适合的数字，代入前述的方程式即可。
同样地，为了简化，他对法老王的社会时间偏好率，只取4个数值（水平地看），因为ρ = 0表示法老王的目光恒久远，ρ = 1表示短视近利，他取0。25这第2个数值，表示法老王的统治期够长，不会短视近利，但也没有千秋万世的心态。你若认为ρ = 0。2或ρ = 0。3较合适，他也不会反对。
现在来看这两项变量的可能组合。他认为腐损率δ = 0。2较合理，ρ = 0。25较有可能，所以两者的交会点就是表内的0。65，这就是上面那条方程式的x值（表示荒年的欠收率）。也就是说，荒年时的收成，是丰年期的0。35（= 1 0。65）。这是最重要的一点：作者透过方程式的推理，猜测出荒年的欠收率，而这是〈创世纪〉内没有提供的重要讯息。
我很佩服这项推论的能力，也觉得合情合理，但我有一项逻辑上的批评：上面那条方程式与表格都显示，影响x的变量有两个，一项是腐损率δ，另一项是君主的英明度ρ。欠收率的高低，很受自然天候的影响，那是上天的旨意，怎么会受到君主英明度ρ的影响呢？从上面的表格来看，君主愈短视，欠收率就愈高，天下哪有这种因果？可是话说回来，你能把上天的旨意写进方程式内吗？我们就体谅作者一下，稍微闭一下左眼，我们要的是创意推理，就别抓他小辫子了。2
好，我们接受上面那条方程式，也接受那个表格吧！这个表格让我们得知，埃及在7个荒年期间的欠收率（假设都同样）是0。65，也就是凶年时粮食减产23，只生产丰年时期13的粮食。别担心，依照约瑟的先见之明，已经在前7年每年都预留0。2（= 15）了，所以在荒年时，埃及人可用的粮食是13 ＋ 15 = 815 = 0。53。如果扣掉一些较轻微的腐损率，大约共有0。5的粮食可供食用。
丰年时埃及人可食用的粮食，大约是1 0。2（储存率） 0。2（腐损率）= 0。6。这两个数目（0。5和0。6）相比，我们可以大略推测：在约瑟的先见之明下，荒年期的7年间，埃及人的粮食约比丰年期少10％（= 0。6 0。5）。
这是Hamermesh的版本，你相信吗？我觉得他低估了欠收率（x），因为〈创世纪〉内说：「饥荒甚大，全地都绝了粮，甚至埃及地和迦南地的人因那饥荒的缘故都饿昏了。」（参见摘述经文的最后一段）。如果荒年时有0。5的粮食，应不致于如此。我认为，假如欠收率x = 0。84，就较符合「饿昏了」的记载。但是要得到x = 0。84，就必须假设法老王是个短视近利的人（ρ = 1），而事实似乎不是如此。
如果拿3；700百年前的欠收率，和今日世界各地的欠收率相比，Hamermesh认为x = 0。65并不太严重。19968年间，美国8个州的小麦欠收率，平均约是0。2；19689以及19723年间，印度谷物的欠收率分别为0。4和0。6。埃及和今日的状况相比，较严重的是7年的长期荒灾。现代世界若有大型饥荒，联合国会以各种方式救助，荒灾不会长达7年。
参考文献
Hamermesh； Daniel （2002）： “How ‘grievous’ was the biblical famine？”； Economics Letters； 74：37983。
原刊于《当代》2007年9月238期
6为什么186668年芬兰饥荒会饿死十万人？
大家熟知的近代大型饥荒，有爱尔兰1847年的大饥荒，导致大量移民到美国；二次大战后，有印度和孟加拉国的大饥荒，21世纪初期仍时有所闻的非洲饥荒。中国的故事就不必说了，邓云特（1937）《中国救荒史》记载许多可歌可泣的事迹；1960年代在毛泽东时期，发生过吃观音土的事，甚至还有吃人的传闻，易子而食的惨事在中国早已不是新闻。
我们较不熟知的故事，是芬兰18668年间的饥荒。我们对芬兰大概只有两个印象：这是Nokia手机的祖国，同时也是世界闻名的千湖国与千岛国。其实这是一体的两面：芬兰有14的国土在北极圈内，有187；888个湖泊和179；584个岛屿。在这种支离破碎的地区，要架设多少电线杆、拉多少电话线，才能构成完整的通讯网？解决之道就是发展无线话机，只需要成本较低廉的「点状」基地台，不必高成本的「线状」电话线。
芬兰
千湖国和千岛国的意思，就是交通不便：如何建构出有效的公路网和铁路网？这种地理特点的严重后果，就是一旦农产欠收发生饥荒，如何把粮食运送到缺粮之处？这就引发两项经济学上的重要问题。（1）市场失灵：因为交通不便，邻近地区或邻国的多余粮食运不到；或是运到之后成本过高，灾民买不起。（2）政府失灵：在这种情况下，政府就算有心要救，也无计可施，只能眼睁睁地看着饥民饿死。
千湖国和千岛国
1866年发生饥荒时，芬兰人口有180万，死亡率约7。76％。那是个和平时期，纯粹是由于农业欠收。1860年代的芬兰是贫穷农业国，扣掉湖泊和不可居住的岛屿，可耕地只占全国面积的8％。地广人稀，交通不便，都市化的程度低，只有南部靠波罗的海地区，以及西部海湾地区，可以和外国买卖谷物。
黑麦（rye）是穷人的主要食物，占全国农产量的一半；第二重要的是燕麦（oats），是给马和牲畜吃的；第三是做面包的大麦（barley）。以黑麦为例，1860年的总产量是25。6万公吨，1867年大欠收时，只收成12。8万公吨，少了一半；大麦的收成，也大约减少一半。这是全国性的荒年，但更重要的是地区间的严重失衡：芬兰有9省，以VarsinaisSuomi省为例，平均每人的农产量（总产出除以总人口），1867年时约为175公斤，而Kuopio省则只有70公斤。
问题就出在这里：歉收程度较不严重的地区，为什么政府不把这些「较多」的粮食，转运到严重缺粮的地区？答案很简单：非不为也，实不能也。有一项观念，可以说明芬兰9省之间的粮价，在饥荒期间由于运输上的阻碍，造成粮食市场的整合度很低。这项观念，就是经济学界熟知的law of one price（价格单一化）。以可口可乐为例，它的售价低，市场广，销量大。同样容量的可乐，在阿拉斯加的售价，与在纽奥良的售价相同或相差无几。
现在很多�